Scratch 3ème : 11 exercices corrigés d'algorithmique

Ces exercices corrigés d'algorithmique et Scratch en 3ème demandent de suivre les variables, expliquer une condition et corriger un script. Le cours d'algorithmique de 3ème présente les blocs essentiels.

Les programmes de calcul sont reliés au calcul littéral. Le résultat d'un script doit être prédit avant exécution puis comparé aux tests, afin que le logiciel serve de vérification plutôt que de boîte noire.

Table des Matières

Suivre la valeur des variables

Une trace d'exécution note les valeurs après chaque instruction. Elle distingue une affectation, qui remplace, d'une modification, qui ajoute ou multiplie.

Exercice 1 : Tracer un programme de calcul

Facile

Le script met $x$ à $-3$ , met $y$ à $2x+5$ , ajoute $4$ à $x$ , puis met $z$ à $xy$ .

Donner $x$ et $y$ après les deux premières instructions.
Donner la nouvelle valeur de $x$ .
Calculer $z$ et expliquer quelle valeur de $x$ est utilisée.

Indication

La variable $y$ conserve sa valeur tant qu'aucune nouvelle affectation ne la modifie.

Voir le corrigé

Après les deux premières instructions, $x=-3$ et $y=-1$ .
Après l'ajout, $x=1$ .
$z=1\times(-1)=-1$ : le calcul utilise la valeur actuelle de $x$ , mais la valeur déjà stockée dans $y$ .

Exercice 2 : Affecter ou ajouter

Moyen

On veut compter les réussites. À chaque réussite, un script exécute « mettre compteur à $1$ ».

Expliquer le résultat après plusieurs réussites et donner l'instruction correcte.
Préciser l'initialisation du compteur.

Indication

« Mettre à » efface l'ancienne valeur, tandis que « ajouter à » la conserve et la modifie.

Voir le corrigé

Après toute réussite, le compteur revient à $1$ et ne cumule rien. Il faut exécuter « ajouter $1$ à compteur ».
Avant le premier essai, on met le compteur à $0$ .

Exercice 3 : Traduire un script en expression

Moyen

Le script demande un nombre $n$ , met $r$ à $(n-4)^2$ , puis ajoute $3n$ à $r$ .

Écrire le résultat final en fonction de $n$ .
Développer et réduire l'expression.
Calculer le résultat pour $n=-2$ .
Vérifier en suivant directement les blocs.

Indication

La seconde instruction modifie la valeur déjà stockée dans $r$ .

Voir le corrigé

$r=(n-4)^2+3n$ .
$r=n^2-8n+16+3n=n^2-5n+16$ .
Pour $n=-2$ , la forme réduite donne $4+10+16=30$ .
Le script donne d'abord $(-6)^2=36$ , puis ajoute $-6$ , donc $30$ .

Utiliser des boucles et des conditions

Une boucle répète un bloc ; une condition décide si un bloc s'exécute. Leur ordre change le nombre d'itérations et le résultat final.

Exercice 4 : Boucle à nombre fixé

Facile

On met $a$ à $3$ , puis on répète $5$ fois : « mettre $a$ à $2a-1$ ».

Construire la liste des cinq valeurs successives.
Donner la valeur finale.
Indiquer combien de fois la multiplication est exécutée.

Indication

La valeur obtenue à une itération devient l'entrée de l'itération suivante.

Voir le corrigé

Les valeurs sont $5,9,17,33,65$ .
La valeur finale est $65$ .
La multiplication par $2$ est exécutée $5$ fois.

Exercice 5 : Répéter jusqu’à dépasser un seuil

Moyen

On met $u$ à $10$ , puis on répète jusqu'à ce que $u\gt100$ : « mettre $u$ à $1{,}5u$ ».

Lister les valeurs après chaque passage.
Déterminer le nombre d'itérations.
Expliquer pourquoi la dernière valeur dépasse nécessairement $100$ .

Indication

Le test d'arrêt est vérifié après chaque mise à jour dans ce scénario.

Voir le corrigé

On obtient $15;22{,}5;33{,}75;50{,}625;75{,}9375;113{,}90625$ .
La boucle s'exécute $6$ fois.
Elle s'arrête au premier test vrai, donc la valeur finale est supérieure à $100$ , tandis que la précédente ne l'était pas.

Exercice 6 : Condition imbriquée dans une boucle

Difficile

Pour $i$ allant de $1$ à $12$ , un script ajoute $i$ à $S$ seulement si $i$ est divisible par $3$ . Au départ, $S=0$ .

Lister les valeurs de $i$ retenues.
Calculer $S$ .
Modifier verbalement la condition pour additionner les nombres non divisibles par $3$ .
Calculer alors la nouvelle somme sans relancer le script.

Indication

La somme de tous les entiers de $1$ à $12$ permet de contrôler la dernière réponse.

Voir le corrigé

Les valeurs retenues sont $3,6,9,12$ .
$S=3+6+9+12=30$ .
Il faut tester « le reste de $i$ dans la division par $3$ n'est pas $0$ ».
La somme totale vaut $78$ , donc la somme cherchée vaut $78-30=48$ .

Créer un bloc et simuler une expérience

Un bloc personnalisé évite de dupliquer une suite d'instructions. Une simulation aléatoire doit initialiser ses compteurs et calculer une fréquence après la boucle.

Exercice 7 : Bloc personnalisé pour une fonction

Moyen

On crée le bloc « image de $x$ » qui met résultat à $2x^2-5x+1$ .

Calculer les sorties pour $x=0$ , $x=2$ et $x=-1$ .
Expliquer l'intérêt du paramètre $x$ .
Indiquer ce qui se passe si le bloc utilise une variable globale différente par erreur.

Indication

Chaque appel remplace le paramètre par la valeur transmise au bloc.

Voir le corrigé

Les sorties sont $1$ , $-1$ et $8$ .
Le même bloc peut traiter n'importe quelle entrée sans recopier la formule.
Une variable globale pourrait conserver une ancienne valeur et produire un résultat sans rapport avec l'argument de l'appel.

Exercice 8 : Simuler deux dés

Difficile

On veut estimer la probabilité que la somme de deux dés vaille $7$ avec $1\,000$ essais.

Décrire l'initialisation des variables.
Décrire les deux tirages dans la boucle.
Écrire la condition qui incrémente le compteur.
Écrire le calcul final de la fréquence.

Indication

Les deux dés doivent être tirés séparément à chaque essai ; réutiliser le même tirage simulerait deux dés identiques.

Voir le corrigé

On met compteur à $0$ avant la boucle.
À chaque essai, on choisit indépendamment $d_1$ et $d_2$ entre $1$ et $6$ .
Si $d_1+d_2=7$ , on ajoute $1$ au compteur.
Après $1\,000$ essais, la fréquence vaut compteur divisé par $1\,000$ et devrait être proche de $1/6$ .

Exercice 9 : Simulation biaisée par une borne

Moyen

Pour simuler un dé, un script choisit un entier aléatoire entre $0$ et $6$ , puis compte les résultats pairs.

Lister les issues réellement produites.
Expliquer pourquoi ce n'est pas un dé ordinaire.
Corriger les bornes du tirage.
Donner la probabilité théorique d'un résultat pair après correction.

Indication

Les bornes de l'opérateur aléatoire sont incluses.

Voir le corrigé

Le script produit $0,1,2,3,4,5,6$ , soit $7$ issues.
La face $0$ n'existe pas sur un dé ordinaire et modifie la fréquence des nombres pairs.
Il faut choisir un entier entre $1$ et $6$ .
Les résultats pairs sont $2,4,6$ , donc la probabilité vaut $3/6=1/2$ .

Dessiner, prévoir et tester

Les coordonnées et l'orientation du lutin permettent de raisonner avant l'exécution. Un test utile compare le résultat prévu à plusieurs cas, pas à un seul.

Exercice 10 : Polygone obtenu par une boucle

Moyen

Un lutin répète $8$ fois : avancer de $50$ pas, tourner de $45$ degrés.

Identifier le polygone tracé.
Calculer la somme des angles de rotation.
Prévoir la position et la direction finales.

Indication

Pour fermer un polygone régulier, la somme des rotations extérieures doit être $360$ degrés.

Voir le corrigé

Le lutin trace un octogone régulier.
$8\times45=360$ degrés.
Il revient au point de départ avec la même direction qu'au début.

Exercice 11 : Tester une conjecture numérique

Difficile

Un programme calcule $n^3-n$ pour des entiers $n$ . Après quelques essais, on conjecture que le résultat est toujours divisible par $6$ .

Calculer pour $n=2,3,4,5$ .
Factoriser $n^3-n$ .
Expliquer pourquoi le produit contient toujours un facteur $2$ et un facteur $3$ .
Distinguer le rôle des tests et celui de la preuve.

Indication

Utilisez $n^3-n=n(n-1)(n+1)$ , produit de trois entiers consécutifs.

Voir le corrigé

Les résultats sont $6,24,60,120$ , tous divisibles par $6$ .
$n^3-n=n(n^2-1)=n(n-1)(n+1)$ .
Parmi trois entiers consécutifs, l'un est multiple de $3$ et au moins l'un est pair ; leur produit est donc divisible par $6$ .
Les tests suggèrent la propriété, mais seule la factorisation la démontre pour tous les entiers.