Triangles semblables 3ème : 10 exercices corrigés

Ces exercices corrigés sur les triangles semblables en 3ème commencent par la correspondance des angles, puis utilisent le même rapport pour les côtés homologues. Le cours sur les triangles semblables détaille les critères.

Certaines configurations sont aussi décrites par le théorème de Thalès. Ici, la méthode reste valable dès que l'égalité des angles est établie, même sans droites parallèles données.

Reconnaître et ordonner les sommets

L'ordre d'écriture doit faire correspondre les angles égaux ; il fixe ensuite les côtés homologues.

Exercice 1 : Angles de deux triangles

Facile

Dans ABCABC, les angles valent 42∘42^\circ, 63∘63^\circ et 75∘75^\circ. Dans DEFDEF, on a D=75∘D=75^\circ, E=42∘E=42^\circ et F=63∘F=63^\circ.

  1. Justifier que les triangles sont semblables.
  2. Écrire une égalité ordonnée des triangles.
  3. Donner les côtés homologues.
Indication

Associez les sommets portant le même angle.

Voir le corrigé
  1. Les trois angles de l'un sont égaux aux trois angles de l'autre.
  2. On peut écrire ABC∼EFDABC \sim EFD.
  3. ABAB correspond à EFEF, BCBC à FDFD et ACAC à EDED.

Exercice 2 : Deux angles suffisent

Moyen

Deux triangles vérifient A=48∘A=48^\circ, B=71∘B=71^\circ, R=71∘R=71^\circ et S=61∘S=61^\circ.

  1. Calculer le troisième angle de ABCABC.
  2. Trouver l'angle restant du second triangle.
  3. Démontrer la similitude.
  4. Proposer l'ordre des sommets.
  5. Expliquer pourquoi un seul angle commun ne suffirait pas.
Indication

La somme des angles d'un triangle vaut 180∘180^\circ.

Voir le corrigé
  1. C=180−48−71=61∘C=180-48-71=61^\circ.
  2. Le troisième angle du second triangle vaut 48∘48^\circ.
  3. Deux angles correspondants sont égaux, donc les triangles sont semblables.
  4. Si le second triangle est QRSQRS avec Q=48∘Q=48^\circ, alors ABC∼QRSABC \sim QRS.
  5. Un seul angle commun laisse libres les deux autres et ne détermine pas la forme.

Calculer des longueurs homologues

Le rapport doit toujours comparer les côtés placés en face d'angles correspondants.

Exercice 3 : Rapport d’agrandissement

Facile

Les triangles ABCABC et DEFDEF sont semblables avec AB=6AB=6, BC=8BC=8, AC=10AC=10, et DE=9DE=9 homologue à ABAB.

  1. Calculer le rapport du premier vers le second.
  2. Calculer EFEF homologue à BCBC.
  3. Calculer DFDF.
  4. Contrôler le plus grand côté.
Indication

Le rapport vaut DE/ABDE/AB.

Voir le corrigé
  1. k=9/6=1,5k=9/6=1{,}5.
  2. EF=8×1,5=12EF=8 \times1{,}5=12.
  3. DF=10×1,5=15DF=10 \times1{,}5=15.
  4. DFDF est bien le plus grand côté comme ACAC dans le premier triangle.

Exercice 4 : Réduction avec fractions

Moyen

Deux triangles semblables ont un rapport du grand vers le petit égal à 5/35/3. Dans le grand, deux côtés homologues mesurent 12,512{,}5 cm et 1818 cm.

  1. Donner le rapport du petit vers le grand.
  2. Calculer les deux côtés du petit triangle.
  3. Vérifier le retour au grand triangle.
  4. Donner les valeurs exactes.
Indication

Pour réduire, multipliez par 3/53/5.

Voir le corrigé
  1. Le rapport inverse vaut 3/53/5.
  2. Les côtés mesurent 12,5×3/5=7,512{,}5 \times3/5=7{,}5 cm et 18×3/5=10,818 \times3/5=10{,}8 cm.
  3. 7,5×5/3=12,57{,}5 \times5/3=12{,}5 et 10,8×5/3=1810{,}8 \times5/3=18.
  4. Les écritures décimales sont exactes ici.

Exercice 5 : Correspondance erronée

Difficile

On sait ABC∼DEFABC \sim DEF, avec AB=7AB=7, BC=9BC=9, AC=11AC=11, DE=14DE=14 et EF=18EF=18. Un élève affirme que DF=22,5DF=22{,}5.

  1. Écrire les correspondances données par l'ordre.
  2. Calculer le rapport.
  3. Déterminer DFDF.
  4. Évaluer l'affirmation.
  5. Identifier une possible origine de l'erreur.
Indication

Dans l'écriture ordonnée, AA correspond à DD, BB à EE, CC à FF.

Voir le corrigé
  1. AB/DE=BC/EF=AC/DFAB/DE=BC/EF=AC/DF.
  2. Le rapport du premier au second vaut 1/21/2.
  3. DF=2×11=22DF=2 \times11=22.
  4. L'affirmation 22,522{,}5 est fausse.
  5. L'élève a peut-être utilisé 18/818/8 ou arrondi un rapport au lieu d'utiliser les côtés homologues exacts.

Relier périmètres et aires

Les périmètres sont multipliés par kk, tandis que les aires sont multipliées par k2k^2.

Exercice 6 : Périmètre image

Moyen

Deux triangles semblables ont des périmètres 2424 cm et 4242 cm. Un côté du premier mesure 99 cm.

  1. Calculer le rapport du premier au second.
  2. Calculer le côté homologue.
  3. Expliquer pourquoi les périmètres utilisent le même rapport.
Indication

Chaque côté est multiplié par la même valeur, donc leur somme aussi.

Voir le corrigé
  1. k=42/24=7/4k=42/24=7/4.
  2. Le côté homologue mesure 9×7/4=15,759 \times7/4=15{,}75 cm.
  3. La somme des trois côtés est multipliée terme à terme par kk, donc le périmètre l'est également.

Exercice 7 : Retrouver un rapport par les aires

Difficile

Deux triangles semblables ont des aires 5454 cm² et 150150 cm².

  1. Calculer le rapport des aires.
  2. En déduire le rapport des longueurs.
  3. Calculer l'image d'un côté de 7,27{,}2 cm du petit triangle.
  4. Vérifier le sens du rapport.
Indication

Le rapport des longueurs est la racine carrée du rapport des aires.

Voir le corrigé
  1. 150/54=25/9150/54=25/9.
  2. k=25/9=5/3k=\sqrt{25/9}=5/3.
  3. Le côté image vaut 7,2×5/3=127{,}2 \times5/3=12 cm.
  4. L'aire et la longueur augmentent, donc le rapport choisi est supérieur à 11, ce qui est cohérent.

Démontrer et résoudre un problème

Une preuve de similitude précède tout tableau de rapports ; les mesures seules ne doivent pas être supposées proportionnelles.

Exercice 8 : Triangles formés par deux droites

Moyen

Deux droites se coupent en OO. Les points (A,C) sont sur la première et (B,D) sur la seconde. On sait AB∥CDAB \parallel CD.

  1. Identifier deux angles égaux grâce aux parallèles.
  2. Identifier les angles opposés par le sommet.
  3. Démontrer la similitude de OABOAB et OCDOCD.
  4. Écrire un rapport correct.
Indication

Les angles alternes-internes ou correspondants proviennent des droites parallèles.

Voir le corrigé
  1. Par exemple, OAB=OCDOAB=OCD grâce à AB∥CDAB \parallel CD.
  2. Les angles en OO sont opposés par le sommet, donc égaux.
  3. Deux angles égaux suffisent : les triangles sont semblables.
  4. On peut écrire OA/OC=OB/OD=AB/CDOA/OC=OB/OD=AB/CD.

Exercice 9 : Ombre d’un lampadaire

Moyen

Au même instant, une personne de 1,651{,}65 m projette une ombre de 1,11{,}1 m. Un lampadaire projette une ombre de 4,84{,}8 m.

  1. Justifier la similitude des triangles.
  2. Écrire le rapport utile.
  3. Calculer la hauteur du lampadaire.
  4. Préciser l'hypothèse physique.
Indication

Les rayons du soleil sont considérés parallèles et le sol horizontal.

Voir le corrigé
  1. Les deux triangles sont rectangles et partagent le même angle formé par les rayons solaires ; ils sont semblables.
  2. h/4,8=1,65/1,1h/4{,}8=1{,}65/1{,}1.
  3. h=4,8×1,5=7,2h=4{,}8 \times1{,}5=7{,}2 m.
  4. On suppose les rayons parallèles et les objets verticaux sur le même plan horizontal.

Exercice 10 : Données incompatibles

Difficile

On affirme que deux triangles sont semblables. Les côtés du premier sont 5,7,95,7,9, ceux du second 10,14,1910,14,19.

  1. Trier les côtés par ordre croissant.
  2. Calculer les trois rapports homologues naturels.
  3. Décider si les données sont compatibles.
  4. Corriger une longueur du second triangle.
  5. Expliquer pourquoi deux rapports égaux ne suffisent pas ici.
Indication

Le plus petit côté doit correspondre au plus petit, et ainsi de suite.

Voir le corrigé
  1. Les listes sont déjà ordonnées.
  2. Les rapports valent 22, 22 et 19/919/9.
  3. Ils ne sont pas tous égaux, donc les triangles ne sont pas semblables.
  4. La troisième longueur devrait être 1818 pour un rapport 22.
  5. Trois longueurs sont données ; la troisième doit respecter le même coefficient pour conserver toute la forme.
Partager