Fonctions linéaires 3ème : 10 exercices corrigés

Ces exercices corrigés sur les fonctions linéaires en 3ème relient la formule f(x)=axf(x)=ax à une situation de proportionnalité. Le cours sur les fonctions linéaires explique le rôle du coefficient.

Le vocabulaire d'image et d'antécédent est repris du cours général sur les fonctions. Les corrections vérifient notamment que la représentation passe par l'origine.

Avant chaque calcul, identifiez la grandeur d'entrée, son unité et le sens du coefficient.

Identifier une fonction linéaire

Une fonction linéaire possède une formule de la forme axax et sa représentation passe par l'origine.

Exercice 1 : Formules à trier

Facile

On donne f(x)=3xf(x)=3x, g(x)=3x+1g(x)=3x+1, h(x)=x2h(x)=x^2 et k(x)=−0,4xk(x)=-0{,}4x.

  1. Identifier les fonctions linéaires.
  2. Donner leur coefficient.
  3. Expliquer pourquoi les deux autres ne conviennent pas.
Indication

Cherchez exactement un nombre multiplié par xx, sans terme ajouté.

Voir le corrigé
  1. ff et kk sont linéaires.
  2. Leurs coefficients sont 33 et −0,4-0{,}4.
  3. gg contient un terme constant et hh contient un carré ; elles ne sont pas de la forme axax.

Exercice 2 : Tableau proportionnel

Moyen

Un tableau associe à xx les valeurs −4,−1,0,3-4,-1,0,3 et à f(x)f(x) les valeurs 10,2,5,0,−7,510,2{,}5,0,-7{,}5.

  1. Calculer les quotients f(x)/xf(x)/x lorsque c'est possible.
  2. Décider si la fonction est linéaire.
  3. Donner sa formule.
  4. Prévoir f(8)f(8).
Indication

La colonne x=0x=0 ne permet pas une division, mais doit donner l'image 00.

Voir le corrigé
  1. Les quotients valent tous −2,5-2{,}5 pour les valeurs non nulles.
  2. Le tableau est compatible avec une fonction linéaire.
  3. f(x)=−2,5xf(x)=-2{,}5x.
  4. f(8)=−20f(8)=-20.

Calculer images et antécédents

L'image s'obtient par multiplication ; l'antécédent s'obtient en résolvant ax=yax=y.

Exercice 3 : Images avec signes

Facile

Soit f(x)=−3xf(x)=-3x.

  1. Calculer f(5)f(5).
  2. Calculer f(−4)f(-4).
  3. Calculer f(2/3)f(2/3).
  4. Comparer les signes de xx et f(x)f(x).
Indication

Le coefficient est négatif.

Voir le corrigé
  1. f(5)=−15f(5)=-15.
  2. f(−4)=12f(-4)=12.
  3. f(2/3)=−2f(2/3)=-2.
  4. Pour tout xx non nul, les signes sont opposés car le coefficient est négatif.

Exercice 4 : Antécédents exacts

Moyen

On considère g(x)=7x/4g(x)=7x/4.

  1. Trouver l'antécédent de 2121.
  2. Trouver celui de −7/2-7/2.
  3. Trouver celui de 00.
  4. Vérifier chaque réponse.
Indication

Résolvez 7x/4=y7x/4=y en multipliant par 4/74/7.

Voir le corrigé
  1. L'antécédent de 2121 est 1212.
  2. L'antécédent de −7/2-7/2 est −2-2.
  3. L'antécédent de 00 est 00.
  4. Les substitutions donnent respectivement 2121, −7/2-7/2 et 00.

Exercice 5 : Coefficient inconnu

Difficile

Une fonction linéaire uu vérifie u(−6)=15u(-6)=15.

  1. Déterminer son coefficient.
  2. Écrire la formule.
  3. Calculer u(14)u(14).
  4. Trouver l'antécédent de −25-25.
  5. Contrôler les signes.
Indication

Dans u(x)=axu(x)=ax, remplacez xx par −6-6.

Voir le corrigé
  1. −6a=15-6a=15, donc a=−2,5a=-2{,}5.
  2. u(x)=−2,5xu(x)=-2{,}5x.
  3. u(14)=−35u(14)=-35.
  4. −2,5x=−25-2{,}5x=-25 donne x=10x=10.
  5. Le coefficient négatif inverse le signe des valeurs non nulles, ce que confirment les résultats.

Lire et construire la représentation

Une droite passant par l'origine est déterminée par un second point non confondu avec l'origine.

Exercice 6 : Point et coefficient

Facile

La droite d'une fonction linéaire passe par l'origine et par A(4;10)A(4;10).

  1. Calculer le coefficient.
  2. Donner la formule.
  3. Vérifier que le point B(−2;−5)B(-2;-5) appartient à la droite.
Indication

Le coefficient vaut ordonnée divisée par abscisse.

Voir le corrigé
  1. a=10/4=2,5a=10/4=2{,}5.
  2. f(x)=2,5xf(x)=2{,}5x.
  3. f(−2)=−5f(-2)=-5, donc BB appartient à la droite.

Exercice 7 : Graphique incohérent

Moyen

Un élève trace la représentation de f(x)=−0,75xf(x)=-0{,}75x. Sa droite passe par OO, A(4;−3)A(4;-3) et B(−8;5)B(-8;5).

  1. Contrôler le point AA.
  2. Contrôler le point BB.
  3. Identifier le point mal placé.
  4. Donner son ordonnée correcte.
  5. Expliquer l'effet du coefficient négatif.
Indication

Calculez les images des deux abscisses.

Voir le corrigé
  1. f(4)=−3f(4)=-3, donc AA est correct.
  2. f(−8)=6f(-8)=6, pas 55.
  3. Le point BB est mal placé.
  4. Son ordonnée correcte est 66.
  5. La droite descend de gauche à droite car le coefficient est négatif.

Exercice 8 : Deux coefficients à comparer

Difficile

Les droites de f(x)=1,2xf(x)=1{,}2x et g(x)=−2xg(x)=-2x sont tracées dans le même repère.

  1. Donner un point non nul de chaque droite.
  2. Dire laquelle est croissante.
  3. Comparer leur inclinaison en valeur absolue.
  4. Déterminer leur point commun.
  5. Justifier algébriquement ce point commun.
Indication

Résolvez 1,2x=−2x1{,}2x=-2x.

Voir le corrigé
  1. Par exemple, A(5;6)A(5;6) est sur ff et B(1;−2)B(1;-2) sur gg.
  2. ff est croissante ; gg est décroissante.
  3. ∣−2∣>∣1,2∣|{-2}|\gt |1{,}2|, donc la droite de gg est plus inclinée par rapport à l'axe horizontal.
  4. Elles se rencontrent en O(0;0)O(0;0).
  5. 1,2x=−2x1{,}2x=-2x donne 3,2x=03{,}2x=0, donc x=0x=0 et l'ordonnée vaut 00.

Modéliser une proportionnalité

Une fonction linéaire convient quand doubler l'entrée double la sortie et qu'une entrée nulle donne une sortie nulle.

Exercice 9 : Conversion de monnaie fictive

Moyen

Dans un jeu, 11 cristal vaut 2,42{,}4 pièces. On note p(c)p(c) le nombre de pièces pour cc cristaux.

  1. Écrire la fonction.
  2. Calculer le prix de 3535 cristaux.
  3. Trouver le nombre de cristaux correspondant à 150150 pièces.
  4. Interpréter le coefficient.
Indication

La relation est proportionnelle et passe par zéro.

Voir le corrigé
  1. p(c)=2,4cp(c)=2{,}4c.
  2. p(35)=84p(35)=84 pièces.
  3. 2,4c=1502{,}4c=150, donc c=62,5c=62{,}5 ; si seuls les cristaux entiers sont possibles, 150150 pièces ne correspondent pas exactement à un achat entier.
  4. Le coefficient 2,42{,}4 est le nombre de pièces par cristal.

Exercice 10 : Distance à vitesse constante

Difficile

Un train roule à 108108 km/h. On note d(t)d(t) la distance en mètres parcourue en tt secondes.

  1. Convertir la vitesse en m/s.
  2. Écrire la fonction linéaire.
  3. Calculer la distance en 4545 s.
  4. Trouver le temps pour 2,42{,}4 km.
  5. Expliquer pourquoi le modèle suppose une vitesse constante.
Indication

Divisez les km/h par 3,63{,}6.

Voir le corrigé
  1. 108/3,6=30108/3{,}6=30 m/s.
  2. d(t)=30td(t)=30t.
  3. d(45)=1350d(45)=1350 m.
  4. 2,42{,}4 km vaut 24002400 m, donc 30t=240030t=2400 et t=80t=80 s.
  5. La formule utilise un coefficient unique ; une accélération ferait varier la distance parcourue chaque seconde.
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