Fonctions linéaires 3ème : cours et méthodes

Une fonction linéaire en 3ème traduit une situation de proportionnalité. Sa formule $f(x)=ax$ multiplie chaque entrée par le même coefficient $a$ , et sa représentation est une droite passant par l'origine.

Le coefficient relie formule, tableau et graphique. Il peut représenter un prix par unité, une vitesse, un taux ou la variation verticale obtenue pour une unité horizontale.

Table des Matières

Définition d’une fonction linéaire

Fonction linéaire

Une fonction linéaire est une fonction de la forme $f(x)=ax$ , où $a$ est un nombre fixé appelé coefficient. Elle modélise une relation de proportionnalité.

f(0)=a\times0=0.

Calculer une image et un antécédent

Pour $f(x)=-2,5x$ , l'image de 4 vaut $-10$ . Chercher l'antécédent de 15 revient à résoudre $-2,5x=15$ , donc $x=-6$ .

f(4)=-2,5\times4=-10,\qquad f(x)=15\Longrightarrow x=-6.

Le vocabulaire du cours sur les fonctions en 3ème reste identique ; seule la forme particulière rend les calculs directs.

Déterminer le coefficient à partir d’une valeur

Quotient constant

Si $f(x)=ax$ et $x\neq0$ , alors $a=\frac{f(x)}x$ . Un seul couple $(x;f(x))$ avec $x\neq0$ suffit à déterminer la fonction, à condition que la situation soit bien proportionnelle.

f(8)=20\Longrightarrow a=\frac{20}{8}=2,5\Longrightarrow f(x)=2,5x.

Un second couple sert de contrôle. Si l'on annonce aussi $f(6)=14$ , le quotient $14/6$ n'est pas 2,5 : les données ne décrivent pas la même fonction linéaire.

Construire la droite représentative

Deux points suffisent pour tracer une droite. L'origine $O(0;0)$ est déjà connue. On choisit ensuite une valeur de $x$ qui donne une image facile à placer. Pour $f(x)=\frac32x$ , le point $A(2;3)$ appartient à la droite.

$x$	0	2	4	-2
$f(x)=1,5x$	0	3	6	-3

Astuce : choisir une abscisse qui simplifie une fraction rend le second point plus précis qu'une lecture décimale approximative.

Lire le coefficient sur un graphique

Sur la droite d'une fonction linéaire, le coefficient $a$ se calcule avec n'importe quel point $A(x;y)$ distinct de l'origine : $a=y/x$ . Si la droite monte de gauche à droite, $a\gt 0$ ; si elle descend, $a\lt 0$ .

A(4;-6)\Longrightarrow a=\frac{-6}{4}=-1,5.

Erreur fréquente : lire seulement l'ordonnée d'un point ne donne pas le coefficient. Il faut diviser l'ordonnée par l'abscisse.

Modéliser un pourcentage par une fonction linéaire

Le montant d'une remise de 18 % sur un prix $x$ est $R(x)=0,18x$ . Le prix après remise est une autre fonction, $P(x)=x-R(x)=0,82x$ . Les deux sont linéaires, mais elles ne représentent pas la même grandeur.

R(75)=13,50,\qquad P(75)=61,50.

Le coefficient multiplicateur 0,82 donne directement le prix payé, tandis que 0,18 donne la réduction. Nommer la sortie évite de confondre ces valeurs.

Distinguer fonction linéaire et fonction affine

Forme	Valeur en zéro	Graphique
$f(x)=ax$	$f(0)=0$	droite passant par l'origine
$g(x)=ax+b$	$g(0)=b$	droite pouvant éviter l'origine

Un prix de 4 € par unité est linéaire. Un prix de 4 € par unité avec 7 € de frais fixes est affine. Le test de l'origine est rapide, mais la formule et le contexte donnent l'interprétation complète.

Cette distinction prolonge le cours sur les images, antécédents et graphiques en 4ème.

Interpréter le signe et l’unité du coefficient

Dans $T(x)=0,08x$ , où $x$ est un prix en euros, $T(x)$ peut représenter une taxe de 8 %. Le coefficient 0,08 n'a pas ici une unité indépendante : il est un rapport euro par euro.

Dans $d(t)=72t$ , avec $t$ en heures et $d$ en kilomètres, le coefficient 72 s'exprime en km/h. Son unité indique que multiplier une durée par ce coefficient produit une distance.

Un coefficient négatif peut modéliser une variation orientée, par exemple $h(t)=-2t$ pour une altitude relative qui diminue de 2 m par seconde. Le signe ne rend pas la situation impossible ; il décrit le sens choisi.

Variation pour une unité

Pour $f(x)=ax$ , lorsque $x$ augmente de 1, l'image varie de $a$ . Plus généralement, une variation $\Delta x$ produit $\Delta f=a\Delta x$ .

Retrouver une valeur manquante dans un tableau

Si une fonction linéaire vérifie $f(5)=12$ , alors son coefficient vaut 2,4. On peut compléter $f(7)=16,8$ ou retrouver l'antécédent de 30 par $30/2,4=12,5$ .

Le quotient doit rester constant dans toutes les colonnes non nulles. Une seule valeur incohérente indique soit une erreur de calcul, soit une situation non proportionnelle.

Reconnaître une fonction linéaire dans une formule

Les écritures $f(x)=3x$ , $g(x)=x/4$ et $h(x)=-0,7x$ sont linéaires. En revanche, $3x+1$ contient un terme fixe, $x^2$ n'est pas un coefficient constant fois $x$ , et $3/x$ est un quotient variable.

Réduire une formule peut révéler la structure : $2(x+3)-6=2x$ définit finalement une fonction linéaire. Il faut donc regarder la forme réduite, pas seulement les symboles initiaux.

Le test $f(0)=0$ est nécessaire pour une fonction linéaire, mais il ne suffit pas seul à prouver que toute la relation est proportionnelle. La formule réduite ou plusieurs quotients constants apportent la justification complète.

Fonctions linéaires 3ème : l’essentiel à retenir

Une fonction linéaire s'écrit $f(x)=ax$ , représente une proportionnalité et se trace par une droite passant par l'origine. Le coefficient se calcule par $f(x)/x$ , détermine le sens de variation de la droite et porte une unité liée au contexte.

Cette articulation entre formule, tableau et graphique suit les repères annuels de progression de mathématiques pour le cycle 4 et prépare la forme affine.