Fonctions 4ème : 11 exercices corrigés

Ces exercices corrigés sur les fonctions en 4ème apprennent à chercher une image dans le sens entrée vers sortie et un antécédent dans le sens inverse. Le cours sur les images, les antécédents et les représentations fixe le vocabulaire.

Formules, tableaux et descriptions graphiques sont volontairement alternés. Les calculs littéraux nécessaires peuvent être révisés dans le cours de calcul littéral.

Calculer des images à partir d’une formule

Pour calculer une image, on remplace la variable par l'entrée demandée en conservant les parenthèses.

Exercice 1 : Images d’une fonction affine

Facile

Soit f(x)=3x−5f(x)=3x-5.

  1. Calculer f(0)f(0).
  2. Calculer f(4)f(4).
  3. Calculer f(−2)f(-2).
  4. Écrire une phrase avec le mot image pour x=4x=4.
Indication

Remplacez xx successivement par 00, 44 puis −2-2.

Voir le corrigé
  1. f(0)=−5f(0)=-5.
  2. f(4)=12−5=7f(4)=12-5=7.
  3. f(−2)=−6−5=−11f(-2)=-6-5=-11.
  4. L'image de 44 par ff est 77.

Exercice 2 : Carré et substitution

Facile

On définit g(x)=x2−4x+1g(x)=x^2-4x+1.

  1. Calculer g(1)g(1).
  2. Calculer g(−3)g(-3).
  3. Calculer g(4)g(4).
  4. Comparer g(0)g(0) et g(4)g(4).
Indication

Pour une entrée négative, écrivez son carré avec des parenthèses.

Voir le corrigé
  1. g(1)=1−4+1=−2g(1)=1-4+1=-2.
  2. g(−3)=9+12+1=22g(-3)=9+12+1=22.
  3. g(4)=16−16+1=1g(4)=16-16+1=1.
  4. g(0)=1g(0)=1, donc g(0)=g(4)g(0)=g(4).

Exercice 3 : Une calculatrice mal saisie

Moyen

Pour h(x)=2x2+3h(x)=2x^2+3, un élève saisit 2×(−4)2+32\times(-4)^2+3 et annonce −29-29.

  1. Calculer la valeur exacte.
  2. Proposer l'erreur de saisie ou de lecture.
  3. Donner un contrôle de signe sans calcul complet.
Indication

Le carré de −4-4 est positif et le résultat ajoute encore 33.

Voir le corrigé
  1. h(−4)=2×16+3=35h(-4)=2\times16+3=35.
  2. Il a probablement interprété (−4)2(-4)^2 comme −16-16, ou saisi le signe moins hors des parenthèses.
  3. Comme 2x2≥02x^2\geq0, on a toujours h(x)≥3h(x)\geq3 ; un résultat négatif est impossible.

Chercher un ou plusieurs antécédents

Chercher un antécédent revient à résoudre l'équation fonction égale à valeur cible.

Exercice 4 : Antécédent par une fonction affine

Facile

Pour f(x)=3x−5f(x)=3x-5, chercher l'antécédent de 1616, puis celui de −8-8.

  1. Résoudre f(x)=16f(x)=16.
  2. Résoudre f(x)=−8f(x)=-8.
  3. Vérifier les deux réponses.
Indication

Écrivez 3x−53x-5 égal à la valeur cherchée.

Voir le corrigé
  1. 3x−5=163x-5=16 donne 3x=213x=21, donc x=7x=7.
  2. 3x−5=−83x-5=-8 donne 3x=−33x=-3, donc x=−1x=-1.
  3. f(7)=16f(7)=16 et f(−1)=−8f(-1)=-8.

Exercice 5 : Deux antécédents possibles

Moyen

On considère p(x)=x2p(x)=x^2.

  1. Trouver les antécédents de 2525.
  2. Trouver l'antécédent de 00.
  3. Dire si −9-9 possède un antécédent réel.
  4. Expliquer pourquoi une image peut avoir plusieurs antécédents.
Indication

Deux nombres opposés ont le même carré.

Voir le corrigé
  1. Les antécédents de 2525 sont −5-5 et 55.
  2. L'unique antécédent de 00 est 00.
  3. Aucun carré réel n'est négatif, donc −9-9 n'a pas d'antécédent.
  4. Une fonction impose une seule image à chaque entrée, mais plusieurs entrées peuvent partager la même sortie.

Exercice 6 : Antécédent dans un contexte

Moyen

Le prix en euros d'une course est C(d)=4+1,8dC(d)=4+1{,}8d, où dd est la distance en kilomètres.

  1. Calculer le prix pour 1010 km.
  2. Trouver la distance correspondant à 3131 €.
  3. Interpréter C(0)C(0).
  4. Expliquer pourquoi dd ne peut pas être négatif dans ce contexte.
Indication

Pour l'antécédent de 3131, résolvez 4+1,8d=314+1{,}8d=31.

Voir le corrigé
  1. C(10)=4+18=22C(10)=4+18=22 €.
  2. 1,8d=271{,}8d=27, donc d=15d=15 km.
  3. C(0)=4C(0)=4 € représente la prise en charge fixe.
  4. Une distance parcourue est ici une grandeur positive ou nulle.

Lire un tableau ou un graphique

Dans un tableau, on suit une colonne ; sur un graphique, l'image se lit verticalement et l'antécédent horizontalement.

Exercice 7 : Tableau à double lecture

Facile
xx−3-3−1-1002255
q(x)q(x)44−2-2−3-3−2-266
  1. Donner l'image de −1-1.
  2. Donner les antécédents de −2-2.
  3. Chercher un antécédent de 66.
  4. Dire si le tableau permet de conclure que 44 n'a qu'un antécédent.
Indication

Pour une image, partez de la ligne xx. Pour un antécédent, cherchez la valeur dans la ligne q(x)q(x).

Voir le corrigé
  1. q(−1)=−2q(-1)=-2.
  2. Les antécédents de −2-2 visibles sont −1-1 et 22.
  3. Un antécédent de 66 est 55.
  4. Non, le tableau ne montre que quelques entrées ; il ne décrit pas nécessairement toute la fonction.

Exercice 8 : Lecture décrite d’une courbe

Moyen

La courbe d'une fonction rr passe par A(−2;3)A(-2;3), B(0;−1)B(0;-1), C(2;3)C(2;3) et D(5;0)D(5;0).

  1. Donner r(−2)r(-2), r(0)r(0) et r(5)r(5).
  2. Donner deux antécédents connus de 33.
  3. Donner un antécédent connu de 00.
  4. Écrire les quatre égalités associées aux points.
Indication

Un point (a;b)(a;b) de la courbe traduit l'égalité r(a)=br(a)=b.

Voir le corrigé
  1. r(−2)=3r(-2)=3, r(0)=−1r(0)=-1, r(5)=0r(5)=0.
  2. −2-2 et 22 sont des antécédents de 33.
  3. 55 est un antécédent connu de 00.
  4. Les égalités sont r(−2)=3r(-2)=3, r(0)=−1r(0)=-1, r(2)=3r(2)=3, r(5)=0r(5)=0.

Exercice 9 : Lecture exacte ou approchée

Moyen

Une courbe permet de lire que l'image de 33 se situe entre 4,14{,}1 et 4,34{,}3. Une formule donne s(x)=0,5x2−0,2s(x)=0{,}5x^2-0{,}2.

  1. Donner une valeur graphique raisonnable de s(3)s(3).
  2. Calculer exactement s(3)s(3).
  3. Comparer les deux informations.
  4. Expliquer la différence entre lecture et calcul.
Indication

Une lecture dépend de l'échelle et de l'épaisseur du tracé ; la formule donne une valeur calculée.

Voir le corrigé
  1. On peut lire environ 4,24{,}2.
  2. s(3)=0,5×9−0,2=4,3s(3)=0{,}5\times9-0{,}2=4{,}3.
  3. La valeur exacte se trouve à la borne supérieure de l'intervalle lu.
  4. La lecture graphique est approchée, tandis que le calcul à partir de la formule est exact ici.

Passer d’une représentation à une autre

Une formule génère un tableau ; des valeurs régulières peuvent suggérer une formule qu'il faut ensuite vérifier.

Exercice 10 : Construire un tableau

Moyen

Soit u(x)=−2x+6u(x)=-2x+6.

  1. Construire un tableau pour x=−2,0,1,3,5x=-2,0,1,3,5.
  2. Repérer l'antécédent de 00.
  3. Décrire l'évolution des images lorsque xx augmente d'une unité.
Indication

Calculez les images une par une, puis observez leur différence.

Voir le corrigé

Les images sont 1010, 66, 44, 00 et −4-4. L'antécédent de 00 est 33. Lorsque xx augmente d'une unité, l'image diminue de 22, conformément au coefficient −2-2.

Exercice 11 : Deviner puis valider une formule

Difficile

Un tableau donne v(0)=2v(0)=2, v(1)=5v(1)=5, v(2)=8v(2)=8, v(4)=14v(4)=14. On propose v(x)=3x+2v(x)=3x+2.

  1. Vérifier la formule sur les quatre valeurs.
  2. Prévoir v(10)v(10).
  3. Chercher l'antécédent de 3535.
  4. Expliquer pourquoi quatre vérifications ne prouvent pas seules la formule pour toutes les entrées.
  5. Indiquer quelle information supplémentaire validerait le modèle.
Indication

Substituez chaque entrée dans la formule, puis distinguez une concordance de données d'une définition complète.

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  1. La formule donne bien 22, 55, 88 et 1414.
  2. v(10)=32v(10)=32.
  3. 3x+2=353x+2=35 donne x=11x=11.
  4. D'autres fonctions peuvent coïncider sur quatre points puis différer ailleurs.
  5. Il faut que l'énoncé définisse la relation par v(x)=3x+2v(x)=3x+2, ou justifie une évolution linéaire constante.
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