Fonctions 4ème : images, antécédents, tableaux et graphiques

Une fonction associe une seule image à chaque entrée

Un même $x$ ne peut pas avoir deux images différentes dans une fonction. En revanche, plusieurs valeurs de $x$ peuvent partager la même image.

Calculer l’image d’un nombre à partir d’une formule

Calculer (f$a$) signifie remplacer chaque $x$ de la formule par $a$, avec des parenthèses si $a$ est négatif.

La substitution reprend les règles du calcul littéral en 4ème. La notation $f(4)$ ne signifie pas $f\times4$.

Erreur fréquente : dans $f(-2)$, il faut remplacer $x$ par $(-2)$ partout. Oublier les parenthèses change le carré et les signes.

Lire une image et un antécédent dans un tableau

L'image de 1 est $-2$. Les antécédents de 4 sont $-2$ et 3 : une même valeur de sortie possède ici deux antécédents. Le tableau ne permet pas d'affirmer qu'il n'en existe pas d'autres hors des valeurs affichées, sauf si son domaine est limité à ces quatre nombres.

Lire une courbe : déplacements verticaux et horizontaux

Une horizontale peut couper la courbe plusieurs fois, une seule fois ou jamais. C'est pourquoi « l'antécédent » n'est pas toujours unique.

Erreur fréquente : une lecture graphique est souvent approchée. On écrit une valeur exacte seulement si le point est clairement placé sur une graduation précise.

Construire un tableau de valeurs

Pour représenter $g(x)=x^2-1$, on choisit des valeurs de $x$, on calcule leurs images, puis on place les points ((x;g$x$)).

Les points ne doivent pas être reliés automatiquement si le contexte ne dit pas que toutes les valeurs intermédiaires sont possibles. Une fonction donnant le nombre d'objets ne se comporte pas comme une distance continue.

Reconnaître si un graphique représente une fonction

Un cercle échoue à ce test : pour de nombreuses abscisses, une verticale rencontre un point supérieur et un point inférieur. Le cercle est une relation géométrique, mais pas le graphique d'une fonction de $x$ sur tout son contour.

Modéliser une situation par une fonction

Un service facture 4 € de prise en charge puis 1,80 € par kilomètre. Le prix en fonction de la distance $d$ s'écrit $P(d)=1{,}8d+4$. On peut calculer une image pour prévoir un prix ou chercher un antécédent pour connaître la distance correspondant à un budget.

Cette approche prolonge les tableaux, formules et graphiques de 5ème en formalisant images et antécédents.

Astuce : dans une phrase, préciser toujours « image de ... » ou « antécédent de ... ». La direction de la recherche devient explicite.

Passer d’une représentation à une autre

Une fonction peut être donnée par une formule, un tableau, un graphique ou un programme. Ces représentations décrivent la même correspondance mais ne répondent pas avec la même facilité aux questions. Une formule calcule précisément ; un graphique montre les variations ; un tableau donne seulement les valeurs qui y figurent.

Lire plusieurs antécédents sur un graphique

Pour chercher les antécédents de $k$, on trace mentalement la droite horizontale d'équation $y=k$. Les abscisses de tous les points d'intersection sont les réponses. Il peut y en avoir aucune, une seule ou plusieurs.

À l'inverse, l'image de $x$ se lit avec une verticale : on part de l'abscisse $x$, on rejoint la courbe, puis on lit l'ordonnée. Confondre ces deux déplacements revient à inverser entrée et sortie.

Erreur fréquente : la lecture graphique est généralement approchée. On n'invente pas davantage de décimales que ne le permet la graduation.

Étudier le remplissage d’une cuve par une fonction

Une cuve contient déjà 120 L et reçoit 18 L par minute. Son volume après $t$ minutes est $V(t)=120+18t$. L'image de 7 est $V(7)=246$ L : elle répond à la question « quel volume après sept minutes ? ».

Pour chercher quand la cuve atteint 300 L, on cherche un antécédent de 300 : $120+18t=300$, donc $t=10$ minutes. Dans un tableau, les couples $(0;120)$, $(5;210)$ et $(10;300)$ sont des points du graphique. Ils sont alignés, mais la droite ne passe pas par l'origine à cause du volume initial.

Astuce : associer verbalement chaque calcul à « entrée vers sortie » ou « sortie vers entrée ». Cela fixe immédiatement image ou antécédent.

Le modèle n'est valable que tant que la cuve n'est pas pleine et que le débit reste constant. Si sa capacité est 390 L, le domaine temporel utile va de 0 à 15 minutes. Prolonger la droite au-delà donnerait des volumes calculables mais physiquement impossibles. Le contexte restreint donc les entrées pertinentes d'une fonction.

La capacité constitue ici une borne du modèle, et non une nouvelle règle de calcul.

Fonctions 4ème : l’essentiel à retenir

Les fonctions en 4ème décrivent une dépendance : chaque entrée possède une image unique, tandis qu'une sortie peut avoir plusieurs antécédents. Formule, tableau et graphique donnent des accès différents à la même relation.

Le programme officiel de mathématiques du cycle 4 met l'accent sur ces changements de représentation et leur utilisation pour modéliser une situation.