Ces exercices corrigés sur les angles et le parallélisme en 5ème font distinguer angles opposés par le sommet, supplémentaires, correspondants et alternes-internes. Le cours sur les angles et le parallélisme rappelle les configurations et leurs propriétés.
Les calculs sont suivis de preuves courtes : une égalité d’angles ne permet de conclure au parallélisme que si les angles occupent les bonnes positions. Cette série appartient au parcours de mathématiques de 5ème.
Reconnaître et calculer des angles liés
On commence sans parallélisme : les relations viennent d’un angle plat, d’un tour ou de deux droites sécantes.
Exercice 1 : Angles opposés par le sommet
Facile
Les droites \((AB)\) et \((CD)\) se coupent en \(O\). On sait que \(\widehat{AOC}=58^\circ\).
- Donner \(\widehat{BOD}\).
- Calculer \(\widehat{AOD}\) et \(\widehat{BOC}\).
Indication
Deux angles opposés par le sommet sont égaux ; deux angles adjacents formant une ligne droite sont supplémentaires.
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\(\widehat{BOD}=58^\circ\). Les angles adjacents à \(\widehat{AOC}\) complètent un angle plat, donc \(\widehat{AOD}=\widehat{BOC}=180^\circ-58^\circ=122^\circ\). Les quatre mesures totalisent bien \(360^\circ\).
Exercice 2 : Complémentaires ou supplémentaires
Facile
On considère les mesures \(37^\circ\), \(53^\circ\), \(118^\circ\) et \(62^\circ\).
- Former une paire d’angles complémentaires.
- Former une paire d’angles supplémentaires.
- Calculer le complément de \(26^\circ\).
- Calculer le supplément de \(143^\circ\).
Indication
Des angles complémentaires totalisent \(90^\circ\), des angles supplémentaires \(180^\circ\).
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- \(37^\circ+53^\circ=90^\circ\).
- \(118^\circ+62^\circ=180^\circ\).
- \(90^\circ-26^\circ=64^\circ\).
- \(180^\circ-143^\circ=37^\circ\).
Exercice 3 : Auditer un calcul d’angle
Moyen
Sur une ligne droite, trois angles adjacents mesurent \(2x\), \(x+15^\circ\) et \(45^\circ\). Un élève écrit \(2x+x+15=180\) et trouve \(x=55\).
- Repérer le terme oublié.
- Déterminer correctement \(x\).
- Donner les trois mesures et vérifier leur somme.
Indication
La somme doit contenir les trois angles, y compris l’angle constant de \(45^\circ\).
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L’équation correcte est \(2x+(x+15)+45=180\), soit \(3x+60=180\). Ainsi \(3x=120\) et \(x=40\). Les angles mesurent \(80^\circ\), \(55^\circ\) et \(45^\circ\) ; leur somme vaut \(180^\circ\). La réponse \(55\) provenait d’une modélisation incomplète.
Utiliser une sécante avec deux droites parallèles
Dans une configuration de parallèles coupées par une sécante, les positions des angles déterminent l’égalité utilisable.
Exercice 4 : Repérer les positions
Facile
Deux droites \((d)\) et \((d’)\) sont coupées par une sécante \((s)\). Les angles \(a\) et \(b\) sont intérieurs, placés de part et d’autre de \((s)\). L’angle \(c\) occupe la même position relative que \(a\) au second point d’intersection.
- Nommer la relation de position entre \(a\) et \(b\).
- Nommer la relation de position entre \(a\) et \(c\).
- Indiquer quelle information supplémentaire permet d’affirmer leur égalité.
Indication
« Intérieurs et de part et d’autre » décrit les alternes-internes ; « même place » décrit les correspondants.
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\(a\) et \(b\) sont alternes-internes ; \(a\) et \(c\) sont correspondants. Ces noms décrivent seulement leur position. On peut conclure qu’ils sont égaux lorsque \((d)\) et \((d’)\) sont parallèles.
Exercice 5 : Calcul en cascade
Moyen
Les droites \((d)\) et \((d’)\) sont parallèles. Une sécante forme un angle aigu de \(67^\circ\) avec \((d)\).
- Donner la mesure de tous les angles aigus de la figure.
- Donner celle des angles obtus.
- Justifier avec deux propriétés différentes.
- Contrôler le résultat autour d’un point d’intersection.
- Préciser si une mesure au rapporteur est nécessaire.
Indication
Utilisez d’abord les angles opposés, puis les angles correspondants ; un angle obtus est supplémentaire d’un angle aigu adjacent.
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- Tous les angles aigus valent \(67^\circ\).
- Les angles obtus valent \(180^\circ-67^\circ=113^\circ\).
- Les opposés par le sommet sont égaux et les correspondants sont égaux car les droites sont parallèles.
- \(67+113+67+113=360\).
- Aucune mesure supplémentaire n’est nécessaire : les propriétés suffisent.
Exercice 6 : Retrouver une mesure littérale
Moyen
Deux angles alternes-internes formés par des droites parallèles mesurent \(3x+8^\circ\) et \(5x-24^\circ\).
- Déterminer \(x\), puis la mesure commune des deux angles.
Indication
Des alternes-internes sont égaux lorsque les deux droites sont parallèles.
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On écrit \(3x+8=5x-24\). En ajoutant \(24\), puis en retranchant \(3x\), on obtient \(32=2x\), donc \(x=16\). Chaque angle mesure \(3\times16+8=56^\circ\), et \(5\times16-24=56^\circ\) confirme le calcul.
Démontrer ou réfuter un parallélisme
La réciproque exige une configuration reconnue et une égalité exacte ; l’apparence du dessin ne constitue jamais une preuve.
Exercice 7 : Prouver avec des angles correspondants
Moyen
Une sécante coupe \((d)\) et \((d’)\). Deux angles correspondants mesurent chacun \(74^\circ\).
- Rédiger une preuve en trois phrases.
- Expliquer pourquoi l’emplacement des angles doit être mentionné.
Indication
Énoncez les données, nommez la configuration, puis appliquez la réciproque.
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Les deux angles sont correspondants et ont la même mesure \(74^\circ\). Or, si deux droites coupées par une sécante déterminent deux angles correspondants égaux, alors ces droites sont parallèles. Donc \((d)\parallel(d’)\). Sans le mot « correspondants », l’égalité de deux angles quelconques ne suffirait pas.
Exercice 8 : Refuser une fausse preuve
Difficile
Deux angles alternes-internes mesurent \(81^\circ\) et \(79^\circ\). La figure semble montrer des droites parallèles.
- Peut-on conclure au parallélisme ?
- Donner l’écart entre les mesures.
- Expliquer pourquoi une imprécision de dessin ne répare pas la preuve.
Indication
La réciproque repose sur une égalité, pas sur des valeurs proches.
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On ne peut pas conclure : \(81^\circ\neq79^\circ\). L’écart vaut \(2^\circ\). Une figure est seulement une représentation ; si les mesures sont données comme exactes, leur différence suffit à réfuter l’hypothèse de parallélisme dans cette configuration.
Exercice 9 : Deux sécantes dans une même figure
Difficile
Les droites \((a)\) et \((b)\) sont parallèles. Une première sécante donne un angle de \(48^\circ\). Une seconde sécante est perpendiculaire à la première.
- Calculer l’angle aigu formé par la seconde sécante avec \((a)\).
- Donner l’angle obtus associé.
- Transmettre ces mesures au point d’intersection avec \((b)\).
- Justifier chaque transfert.
Indication
Deux directions perpendiculaires forment \(90^\circ\). Les parallèles conservent ensuite les angles correspondants.
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La seconde sécante forme avec \((a)\) un angle aigu de \(90^\circ-48^\circ=42^\circ\). L’angle obtus adjacent vaut \(180^\circ-42^\circ=138^\circ\). Au croisement avec \((b)\), les angles correspondants valent encore \(42^\circ\) et \(138^\circ\), car \((a)\parallel(b)\).
Construire et contrôler une configuration
Une construction complète associe un programme, des instruments adaptés et un contrôle par les propriétés.
Exercice 10 : Construire une parallèle avec un angle
Moyen
Tracer une droite \((d)\), un point \(A\) extérieur à \((d)\) et une sécante passant par \(A\). Construire par \(A\) une droite \((d’)\) parallèle à \((d)\) à l’aide du rapporteur.
- Décrire les étapes de construction.
- Nommer les angles reproduits.
Indication
Mesurez l’angle formé par \((d)\) et la sécante, puis reproduisez-le dans la même position au point \(A\).
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On mesure l’angle entre \((d)\) et la sécante. Au point \(A\), on reporte la même mesure dans la position correspondante, puis on trace \((d’)\). Les angles correspondants étant égaux, la réciproque permet de conclure que \((d’)\parallel(d)\).
Exercice 11 : Défi de synthèse
Difficile
Dans un triangle \(ABC\), la droite par \(A\) parallèle à \((BC)\) est tracée. On sait que \(\widehat{ABC}=52^\circ\) et \(\widehat{ACB}=71^\circ\).
- Calculer \(\widehat{BAC}\).
- Donner les deux angles formés en \(A\) par la parallèle et les côtés du triangle.
- Justifier les égalités utilisées.
Indication
Commencez par la somme des angles du triangle, puis repérez les alternes-internes.
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\(\widehat{BAC}=180^\circ-52^\circ-71^\circ=57^\circ\). L’angle entre la parallèle et \((AB)\) vaut \(52^\circ\), et celui entre la parallèle et \((AC)\) vaut \(71^\circ\), par égalité des angles alternes-internes. On contrôle : \(52+57+71=180\).
Exercice 12 : Enquête sur un angle caché
Moyen
Deux droites parallèles \((d)\) et \((d’)\) sont coupées par une même sécante. À la première intersection, l’un des angles mesure \(128^\circ\). À la seconde intersection, on note \(x\) l’angle aigu situé du même côté de la sécante.
- Calculer l’angle adjacent à \(128^\circ\).
- En déduire \(x\).
- Nommer successivement les deux propriétés utilisées.
- Expliquer pourquoi la réponse serait indéterminée sans l’information \((d)\parallel(d’)\).
Indication
Commencez au premier sommet avec deux angles adjacents, puis transportez la mesure grâce au parallélisme.
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- Deux angles adjacents formant un angle plat sont supplémentaires : l’angle aigu vaut \(180^\circ-128^\circ=52^\circ\).
- Les angles correspondants déterminés par une sécante sur deux parallèles sont égaux, donc \(x=52^\circ\).
- On utilise d’abord la supplémentarité, puis l’égalité des angles correspondants.
- Sans parallélisme, la direction de \((d’)\) pourrait varier : aucune propriété ne permettrait de transporter la mesure \(52^\circ\) au second sommet.