Ces exercices corrigés sur les fonctions en 5ème étudient la dépendance entre deux grandeurs à travers une situation, une formule, un tableau de valeurs ou un graphique. Le cours de fonctions en 5ème explique comment passer d’une représentation à l’autre sans appliquer une méthode aveugle.
Les activités restent dans le périmètre attendu au collège : produire des valeurs, placer des points, lire une évolution et reconnaître un cas de proportionnalité. Les contextes de tarif, de température et de géométrie montrent pourquoi une même relation peut être décrite de plusieurs façons. La page complète le parcours de 5ème.
Passer d’une situation à une formule
Une formule résume la manière dont une grandeur dépend d’une autre. Chaque lettre doit être définie et chaque résultat interprété avec son unité.
Exercice 1 : Traduire un tarif de location
Facile
Un vélo coûte \(4\) € de prise en charge puis \(3\) € par heure. On note \(t\) la durée en heures et \(P\) le prix en euros.
- Écrire la formule donnant \(P\) en fonction de \(t\).
- Calculer le prix pour \(2\) h puis pour \(5\) h.
- Expliquer le rôle des nombres \(4\) et \(3\) dans la formule.
Indication
Le prix fixe est payé une seule fois ; le prix horaire est multiplié par la durée.
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La formule est \(P=4+3t\). Pour \(t=2\), \(P=4+3\times2=10\) €, et pour \(t=5\), \(P=4+3\times5=19\) €. Le nombre \(4\) représente la prise en charge indépendante de la durée. Le coefficient \(3\) indique l’augmentation du prix pour chaque heure supplémentaire. Le prix n’est donc pas proportionnel au temps, car il vaut déjà \(4\) € pour une durée nulle.
Exercice 2 : Exprimer le périmètre d’un rectangle
Facile
Un rectangle a une largeur fixe de \(3\) cm et une longueur variable \(x\) cm. On note \(p\) son périmètre.
- Écrire une formule pour \(p\).
- Calculer \(p\) pour \(x=4{,}5\).
- Retrouver \(x\) lorsque \(p=20\).
Indication
Le périmètre est la somme de deux longueurs et de deux largeurs. Pour remonter la formule, retirez d’abord les largeurs.
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On obtient \(p=2x+2\times3=2x+6\). Pour \(x=4{,}5\), \(p=2\times4{,}5+6=15\) cm. Si \(p=20\), alors les deux longueurs totalisent \(20-6=14\) cm ; une longueur vaut donc \(14\div2=7\) cm. La vérification \(2\times7+6=20\) confirme la valeur. La formule permet ainsi de calculer dans les deux sens, sans mesurer une figure.
Exercice 3 : Comparer deux formules
Moyen
Deux programmes associent un résultat au nombre \(x\). Le programme A calcule \(2(x+5)\). Le programme B calcule \(2x+5\).
- Calculer les deux résultats pour \(x=0\), \(x=3\) et \(x=-2\).
- Les programmes donnent-ils toujours le même résultat ?
- Expliquer l’écart à partir des opérations.
- Modifier B pour le rendre équivalent à A.
Indication
Dans A, le double s’applique à toute la somme, y compris au nombre \(5\).
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Pour \(x=0\), A donne \(10\) et B \(5\). Pour \(x=3\), A donne \(16\) et B \(11\). Pour \(x=-2\), A donne \(6\) et B \(1\). L’écart reste \(5\), donc les programmes ne sont jamais équivalents pour les valeurs testées. Dans A, la distributivité donne \(2(x+5)=2x+10\) : le nombre \(5\) est lui aussi doublé. Il faut remplacer la formule de B par \(2x+10\).
Construire et exploiter un tableau de valeurs
Un tableau organise les valeurs d’entrée et les résultats correspondants. Il aide à repérer une régularité sans remplacer la justification.
Exercice 4 : Compléter un tableau de température
Facile
Une température en degrés Fahrenheit est donnée par \(F=1{,}8C+32\), où \(C\) est la température en degrés Celsius.
- Calculer \(F\) pour \(C=0\), \(10\), \(20\) et \(30\).
- Quelle variation de \(F\) correspond à une hausse de \(10\) °C ?
Indication
Remplacez \(C\) par chaque valeur. Comparez ensuite deux résultats consécutifs.
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Pour \(C=0\), \(F=32\). Pour \(10\), \(F=1{,}8\times10+32=50\). Pour \(20\), \(F=68\), et pour \(30\), \(F=86\). Le tableau est donc \(32, 50, 68, 86\). À chaque hausse de \(10\) °C, la température Fahrenheit augmente de \(18\) °F, car \(1{,}8\times10=18\). Le terme \(32\) décale toutes les valeurs mais ne change pas les écarts.
Exercice 5 : Retrouver une règle à partir d’un tableau
Moyen
Un tableau associe aux nombres \(0, 1, 2, 5\) les résultats \(7, 11, 15, 27\).
- Décrire l’évolution du résultat lorsque l’entrée augmente de \(1\).
- Proposer une formule reliant \(x\) et \(y\).
- Vérifier la formule sur les quatre colonnes.
- Prévoir le résultat pour \(x=12\).
Indication
La différence constante fournit le coefficient de \(x\). Utilisez ensuite la colonne \(x=0\).
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Lorsque \(x\) augmente d’une unité, \(y\) augmente de \(4\). On propose donc \(y=4x+b\). Pour \(x=0\), le résultat vaut \(7\), donc \(b=7\) et \(y=4x+7\). Vérification : \(4\times1+7=11\), \(4\times2+7=15\) et \(4\times5+7=27\). Pour \(x=12\), on obtient \(y=4\times12+7=55\). La régularité du tableau est ainsi expliquée par une formule unique.
Exercice 6 : Détecter une valeur incohérente
Moyen
La formule \(A=6n+2\) donne le nombre d’allumettes d’un motif. Un tableau affiche : pour \(n=1,2,3,4,5\), \(A=8,14,20,25,32\).
- Repérer la valeur erronée.
- Donner la valeur correcte.
- Expliquer une vérification utilisant seulement les écarts.
Indication
Calculez \(6n+2\) ou observez que le résultat doit augmenter de six à chaque étape.
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Pour \(n=4\), la formule donne \(A=6\times4+2=26\), et non \(25\). Les autres valeurs sont exactes : \(8,14,20,32\). Sans recalculer toute la formule, on constate que les écarts doivent toujours valoir \(6\). Or \(25-20=5\) puis \(32-25=7\), ce qui signale l’anomalie. En remplaçant \(25\) par \(26\), les écarts redeviennent \(6\) et \(6\).
Exercice 7 : Associer situation, formule et tableau
Moyen
Trois situations sont proposées : S1, acheter des stylos à \(2\) € l’unité ; S2, payer \(5\) € d’entrée puis \(2\) € par attraction ; S3, retirer \(2\) à un nombre. Les formules sont \(y=2x\), \(y=5+2x\) et \(y=x-2\).
- Associer chaque situation à sa formule.
- Construire trois lignes de tableau pour \(x=0,2,5\).
- Identifier la seule situation proportionnelle.
Indication
Repérez ce qui est multiplié par \(x\), ce qui est payé une seule fois et ce qui est soustrait.
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S1 correspond à \(y=2x\) : les valeurs sont \(0,4,10\). S2 correspond à \(y=5+2x\) : les valeurs sont \(5,9,15\). S3 correspond à \(y=x-2\) : les valeurs sont \(-2,0,3\). Seule S1 est proportionnelle, car la formule est de la forme \(y=kx\) et le résultat est nul pour \(x=0\). Les termes fixes \(5\) et \(-2\) empêchent les deux autres relations d’être proportionnelles.
Lire et interpréter une représentation graphique
Sur un graphique, l’abscisse donne la première grandeur et l’ordonnée la grandeur qui en dépend. Une lecture reste liée à la précision des graduations.
Exercice 8 : Lire un graphique de déplacement
Moyen
La distance \(d\), en kilomètres, parcourue par un marcheur est représentée en fonction du temps \(t\), en heures. La ligne brisée passe par \((0\,;0)\), \((1\,;4)\), \((2\,;4)\), \((3\,;7)\) et \((4\,;9)\).
- Donner la distance parcourue après \(1\), \(2\) et \(4\) heures.
- Interpréter le segment horizontal entre \(1\) h et \(2\) h.
- Calculer la distance parcourue pendant la troisième heure.
- Le marcheur avance-t-il toujours à la même vitesse ? Justifier.
Indication
Une portion horizontale signifie que le temps passe tandis que la distance ne change pas.
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Le marcheur a parcouru \(4\) km après une heure, encore \(4\) km après deux heures et \(9\) km après quatre heures. Entre une et deux heures, la distance reste constante : il s’arrête pendant une heure. Durant la troisième heure, il passe de \(4\) à \(7\) km, soit \(3\) km. Sa vitesse n’est pas constante : il parcourt \(4\) km la première heure, \(0\) la deuxième, \(3\) la troisième et \(2\) la quatrième.
Exercice 9 : Placer des points issus d’une formule
Moyen
On étudie la formule \(y=3x-1\) pour \(x=-1,0,1,2,3\).
- Calculer les cinq valeurs de \(y\).
- Donner les coordonnées des points à placer.
- Décrire l’alignement attendu.
- Prévoir graphiquement puis calculer la valeur pour \(x=4\).
Indication
Construisez d’abord le tableau. Une même formule affine produit ici des points alignés.
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Les résultats sont \(-4,-1,2,5,8\). Les points sont donc \((-1\,;-4)\), \((0\,;-1)\), \((1\,;2)\), \((2\,;5)\) et \((3\,;8)\). Lorsque \(x\) augmente de \(1\), \(y\) augmente de \(3\) : les points sont alignés sur une droite. En prolongeant cette régularité, on prévoit \(11\) pour \(x=4\). Le calcul \(3\times4-1=11\) confirme la lecture.
Exercice 10 : Reconnaître une représentation proportionnelle
Difficile
Trois tracés sont décrits. G1 est une droite passant par \((0\,;0)\) et \((4\,;10)\). G2 est une droite passant par \((0\,;3)\) et \((4\,;10)\). G3 est une ligne brisée passant par \((0\,;0)\), \((2\,;5)\) et \((4\,;7)\).
- Identifier le graphique d’une situation proportionnelle.
- Calculer son coefficient de proportionnalité.
- Expliquer pourquoi les deux autres graphiques sont refusés.
- Donner la valeur associée à \(x=7\) dans la situation proportionnelle.
- Formuler une règle graphique générale.
Indication
Une relation proportionnelle est représentée par une droite qui passe par l’origine.
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G1 représente une proportionnalité : c’est une droite passant par l’origine. Son coefficient vaut \(10\div4=2{,}5\), donc \(y=2{,}5x\). G2 est une droite, mais elle ne passe pas par l’origine puisque \(y=3\) lorsque \(x=0\). G3 passe par l’origine, mais les trois points ne suivent pas le même quotient : \(5\div2=2{,}5\) tandis que \(7\div4=1{,}75\). Pour \(x=7\), G1 donne \(y=2{,}5\times7=17{,}5\). La règle générale exige donc les deux conditions simultanées : une droite et le passage par l’origine.
Exercice 11 : Choisir la représentation la plus utile
Difficile
Une citerne contient \(600\) L et perd \(25\) L par minute. On veut prévoir son contenu pendant les vingt premières minutes et déterminer quand il ne restera que \(200\) L.
- Écrire une formule donnant le volume \(V\) après \(t\) minutes.
- Calculer les valeurs pour \(t=0,4,8,12,16,20\).
- Expliquer l’intérêt respectif de la formule, du tableau et du graphique.
- Déterminer le temps correspondant à \(V=200\) L.
Indication
Le volume initial est le terme fixe ; chaque minute retire \(25\) L. Pour remonter, calculez la quantité perdue.
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La formule est \(V=600-25t\). Le tableau donne successivement \(600,500,400,300,200,100\) L. La formule permet un calcul exact pour n’importe quel temps ; le tableau compare rapidement quelques instants choisis ; le graphique rend visible la baisse régulière et permet une estimation entre deux valeurs. Pour atteindre \(200\) L, la citerne doit perdre \(600-200=400\) L. À raison de \(25\) L par minute, il faut \(400\div25=16\) minutes. La valeur figure bien dans le tableau.