Ces exercices corrigés sur les pourcentages et les échelles en 5ème distinguent deux usages de la proportionnalité : exprimer une part sur cent et relier les dimensions d’un dessin aux dimensions réelles. Le cours sur les pourcentages et les échelles en 5ème rassemble les formules et les conversions nécessaires.
La série réserve une place égale aux deux notions. On calcule un pourcentage d’une quantité, on retrouve un taux, puis on exploite des plans et des maquettes sans oublier d’unifier les unités. Ces méthodes prolongent le programme de mathématiques en classe de 5ème.
Calculer un pourcentage d’une quantité
Un taux de \(p\) % signifie \(p\) parts sur cent. Il peut être remplacé par la fraction \(\frac{p}{100}\) ou par son écriture décimale.
Exercice 1 : Relier fractions, décimaux et pourcentages
Facile
On considère les écritures \(0{,}25\), \(\frac{3}{5}\), \(12\) %, \(\frac{7}{20}\), \(0{,}8\) et \(45\) %.
- Associer chaque écriture à un pourcentage.
- Classer les six valeurs par ordre croissant.
- Identifier celles qui représentent plus de la moitié.
Indication
Transformez toutes les écritures en nombres décimaux ou en pourcentages avant de comparer.
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\(0{,}25=25\) %, \(\frac35=0{,}6=60\) %, \(12\) % reste \(12\) %, \(\frac7{20}=0{,}35=35\) %, \(0{,}8=80\) % et \(45\) % vaut \(0{,}45\). L’ordre croissant est donc \(12\ \%<25\ \%<35\ \%<45\ \%<60\ \%<80\ \%\). Les valeurs supérieures à la moitié sont \(60\) % et \(80\) %, soit \(\frac35\) et \(0{,}8\).
Exercice 2 : Utiliser des pourcentages repères
Facile
Sans poser de multiplication longue, calculer \(10\) %, \(25\) %, \(50\) % et \(75\) % de \(240\).
- Donner les quatre résultats.
- Expliquer comment obtenir \(75\) % à partir de \(25\) %.
Indication
La moitié donne \(50\) %, le quart donne \(25\) %, et \(75\) % correspond à trois quarts.
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\(10\) % de \(240\) vaut \(240\div10=24\). \(25\) % représente un quart, donc \(240\div4=60\). \(50\) % représente la moitié : \(240\div2=120\). Enfin, \(75\) % représente trois quarts : \(3\times60=180\). On peut aussi calculer \(75\) % en retirant \(25\) % au total : \(240-60=180\). Cette seconde méthode constitue une vérification.
Exercice 3 : Lire un budget mensuel
Moyen
Une famille dispose de \(2\,400\) € pour le mois. Elle consacre \(32\) % au logement, \(18\) % à l’alimentation et \(7{,}5\) % aux transports.
- Calculer chaque dépense.
- Calculer le pourcentage restant pour les autres postes.
- En déduire la somme restante.
- Vérifier que la somme des montants retrouve le budget total.
Indication
Multipliez le budget par l’écriture décimale de chaque taux, puis additionnez les taux connus.
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Le logement coûte \(2\,400\times0{,}32=768\) €, l’alimentation \(2\,400\times0{,}18=432\) € et les transports \(2\,400\times0{,}075=180\) €. Les trois postes représentent \(32+18+7{,}5=57{,}5\) %. Il reste donc \(42{,}5\) %, soit \(2\,400\times0{,}425=1\,020\) €. La vérification donne \(768+432+180+1\,020=2\,400\) €.
Retrouver un taux et interpréter une variation
Trouver le pourcentage d’une partie revient à comparer cette partie au total, puis à ramener le quotient à cent.
Exercice 4 : Déterminer une proportion
Moyen
Dans un collège, \(168\) élèves sur \(240\) viennent à pied, à vélo ou en transports en commun.
- Calculer la proportion correspondante sous forme de fraction simplifiée.
- Exprimer cette proportion en pourcentage.
- Calculer le nombre d’élèves qui utilisent un autre moyen de transport.
Indication
Divisez la partie par le total. Pour le complément, vous pouvez raisonner sur les effectifs ou sur les pourcentages.
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La proportion vaut \(\frac{168}{240}\). En divisant le numérateur et le dénominateur par \(24\), on obtient \(\frac7{10}\). Son écriture décimale est \(0{,}7\), donc \(70\) %. Le complément représente \(30\) % des élèves, soit \(240-168=72\) élèves. On vérifie aussi \(240\times0{,}30=72\).
Exercice 5 : Analyser une remise et son prix initial
Difficile
Après une remise de \(20\) %, un sac coûte \(56\) €. Un client affirme que son prix initial était \(56+20\) % de \(56\).
- Expliquer l’erreur du client.
- Déterminer le prix initial.
- Calculer le montant exact de la remise.
- Vérifier le prix final.
Indication
Après la remise, le prix payé représente \(80\) % du prix initial, et non \(100\) %.
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Le client calcule \(20\) % du prix final alors que la remise est définie à partir du prix initial. Si \(P\) désigne le prix initial, alors \(80\) % de \(P\) vaut \(56\), soit \(0{,}8P=56\). Ainsi \(P=56\div0{,}8=70\) €. La remise est \(20\) % de \(70\), donc \(70\times0{,}20=14\) €. La vérification donne \(70-14=56\) €. Ajouter \(11{,}20\) € à \(56\) aurait donné \(67{,}20\) €, ce qui est incorrect.
Calculer avec une échelle et des unités
Une échelle \(1:n\) signifie qu’une longueur sur le dessin est \(n\) fois plus petite que la longueur réelle, dans la même unité.
Exercice 6 : Lire l’échelle d’un plan
Facile
Un plan est à l’échelle \(1:500\). Une allée y mesure \(7{,}2\) cm.
- Calculer la longueur réelle en centimètres.
- Convertir cette longueur en mètres.
Indication
À l’échelle \(1:500\), un centimètre sur le plan représente \(500\) centimètres en réalité.
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La longueur réelle vaut \(7{,}2\times500=3\,600\) cm. Comme \(100\) cm correspondent à \(1\) m, on obtient \(3\,600\div100=36\) m. Il faut effectuer la multiplication avant la conversion, ou convertir le coefficient : \(500\) cm valent \(5\) m, donc \(7{,}2\times5=36\) m.
Exercice 7 : Choisir une échelle pour une carte
Moyen
Deux villages sont distants de \(18\) km. Sur une carte, on souhaite les représenter par un segment de \(9\) cm.
- Convertir la distance réelle en centimètres.
- Déterminer l’échelle de la carte.
- À cette échelle, quelle distance réelle représente \(4{,}5\) cm ?
Indication
Une échelle compare deux longueurs exprimées dans la même unité. Écrivez le rapport longueur dessinée sur longueur réelle.
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\(18\) km représentent \(18\times100\,000=1\,800\,000\) cm. Le rapport vaut \(\frac{9}{1\,800\,000}=\frac1{200\,000}\). L’échelle est donc \(1:200\,000\). Un centimètre représente \(200\,000\) cm, soit \(2\) km. Ainsi \(4{,}5\) cm représentent \(4{,}5\times2=9\) km. Cette dernière réponse est cohérente : la longueur sur la carte a été divisée par deux, donc la distance réelle aussi.
Exercice 8 : Construire la maquette d’une pièce
Moyen
Une salle rectangulaire mesure \(8{,}4\) m sur \(5{,}6\) m. On réalise une maquette à l’échelle \(1:40\).
- Calculer les dimensions de la maquette en centimètres.
- Calculer le périmètre réel de la salle.
- Calculer le périmètre de la maquette.
- Comparer les deux périmètres et interpréter le rapport.
Indication
Convertissez d’abord les dimensions réelles en centimètres, puis divisez chacune par \(40\).
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Les dimensions réelles sont \(840\) cm et \(560\) cm. Sur la maquette, elles deviennent \(840\div40=21\) cm et \(560\div40=14\) cm. Le périmètre réel vaut \(2\times(8{,}4+5{,}6)=28\) m, soit \(2\,800\) cm. Celui de la maquette vaut \(2\times(21+14)=70\) cm. On vérifie \(2\,800\div70=40\) : toutes les longueurs, y compris le périmètre, sont divisées par \(40\).
Exercice 9 : Détecter une échelle impossible
Difficile
Un élève représente une route de \(2{,}4\) km par un segment de \(12\) cm et écrit « échelle \(1:2\,000\) ». Il représente ensuite un pont de \(180\) m par \(9\) cm sur le même plan.
- Vérifier l’échelle annoncée avec la route.
- Calculer l’échelle correspondant réellement à la route.
- Calculer l’échelle correspondant au pont.
- Les deux objets peuvent-ils appartenir au même plan ?
- Proposer une correction cohérente.
Indication
Convertissez les deux distances réelles en centimètres et comparez séparément les deux rapports.
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\(2{,}4\) km valent \(240\,000\) cm. Le rapport de la route est \(\frac{12}{240\,000}=\frac1{20\,000}\), et non \(\frac1{2\,000}\). Pour le pont, \(180\) m valent \(18\,000\) cm, donc \(\frac9{18\,000}=\frac1{2\,000}\). Les deux dessins utilisent des échelles différentes et ne peuvent pas appartenir au même plan. À l’échelle \(1:20\,000\), le pont devrait mesurer \(18\,000\div20\,000=0{,}9\) cm. On peut donc conserver la route et remplacer \(9\) cm par \(0{,}9\) cm.
Exercice 10 : Relier échelle et pourcentage
Difficile
Une photographie est réduite à \(60\) % de ses dimensions initiales. Elle mesurait \(25\) cm sur \(15\) cm. Une seconde copie est ensuite réalisée à l’échelle \(1:2\) à partir de la photographie réduite.
- Calculer les dimensions après la réduction à \(60\) %.
- Calculer les dimensions de la seconde copie.
- Exprimer les dimensions finales en pourcentage des dimensions initiales.
- Comparer l’aire finale à l’aire initiale.
Indication
Deux réductions successives se multiplient. Pour l’aire, les deux dimensions sont modifiées.
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Après la réduction à \(60\) %, les dimensions sont \(25\times0{,}6=15\) cm et \(15\times0{,}6=9\) cm. L’échelle \(1:2\) divise encore chaque longueur par deux : la copie finale mesure \(7{,}5\) cm sur \(4{,}5\) cm. Chaque dimension finale vaut \(0{,}6\times0{,}5=0{,}3\), soit \(30\) % de la dimension initiale. L’aire initiale vaut \(25\times15=375\) cm² et l’aire finale \(7{,}5\times4{,}5=33{,}75\) cm². Le rapport \(33{,}75\div375=0{,}09\) montre que l’aire finale vaut \(9\) % de l’aire initiale, car \(30\ \%\times30\ \%=9\ \%\).