Ces exercices corrigés de proportionnalité en 5ème apprennent à reconnaître une situation proportionnelle, à compléter un tableau et à choisir entre coefficient, passage à l’unité ou propriétés additives. Le cours de proportionnalité en 5ème rappelle les méthodes et le vocabulaire utiles avant l’entraînement.
Les problèmes portent sur des prix, des recettes, des distances et des débits, mais chaque contexte exige un raisonnement différent. Plusieurs questions demandent aussi de prouver qu’une situation n’est pas proportionnelle. Cette page appartient au parcours de 5ème au collège.
Reconnaître une situation de proportionnalité
Avant de calculer, il faut vérifier qu’un même multiplicateur relie toutes les valeurs correspondantes.
Exercice 1 : Proportionnel ou non ?
Facile
Pour chaque situation, décider si les deux grandeurs sont proportionnelles : un cahier coûte \(2{,}40\) €, trois cahiers coûtent \(7{,}20\) € ; un enfant mesure \(1{,}35\) m à 10 ans et \(1{,}62\) m à 12 ans ; une voiture parcourt \(90\) km en une heure puis \(180\) km en deux heures à vitesse constante.
- Classer les trois situations.
- Justifier chaque réponse par une propriété ou par un contre-exemple.
Indication
Une simple augmentation simultanée ne suffit pas. Cherchez si doubler une grandeur double nécessairement l’autre.
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Le prix des cahiers est proportionnel au nombre acheté, car chaque cahier coûte \(2{,}40\) € et \(3\times2{,}40=7{,}20\). La taille n’est pas proportionnelle à l’âge : si elle l’était, passer de \(10\) à \(12\) ans multiplierait la taille par \(1{,}2\), ce qui donnerait \(1{,}35\times1{,}2=1{,}62\), mais cette coïncidence sur deux données ne constitue pas une loi générale et la taille à l’âge zéro ne vaut pas zéro. La distance est proportionnelle au temps lorsque la vitesse reste constante : \(90\times2=180\).
Exercice 2 : Tester un tableau
Facile
On donne deux tableaux. Tableau A : première ligne \(2, 5, 8\), seconde ligne \(6, 15, 24\). Tableau B : première ligne \(3, 6, 10\), seconde ligne \(9, 18, 31\).
- Lequel est un tableau de proportionnalité ?
- Donner son coefficient de proportionnalité.
- Identifier la colonne qui invalide l’autre tableau.
Indication
Calculez les quotients entre les nombres de la seconde ligne et ceux de la première.
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Dans le tableau A, les quotients valent \(6\div2=3\), \(15\div5=3\) et \(24\div8=3\). Le coefficient de proportionnalité est donc \(3\). Dans le tableau B, les deux premiers quotients valent \(3\), mais \(31\div10=3{,}1\). La troisième colonne contredit la proportionnalité. Il suffit d’un seul quotient différent pour rejeter le modèle proportionnel.
Exercice 3 : Démasquer une fausse remise
Moyen
Une affiche annonce : « Deux billets coûtent \(18\) €, donc cinq billets coûtent \(40\) € au même tarif unitaire. »
- Calculer le prix d’un billet.
- Déterminer le prix correct de cinq billets.
- Mesurer l’écart avec le prix affiché.
- Expliquer si l’affiche décrit réellement un même tarif.
Indication
Commencez par revenir à une unité, puis multipliez par le nombre demandé.
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Un billet coûte \(18\div2=9\) €. Au même tarif, cinq billets devraient coûter \(5\times9=45\) €. Le prix affiché est inférieur de \(45-40=5\) €. L’affiche ne conserve donc pas le même tarif unitaire : soit elle contient une erreur, soit elle applique une réduction qui doit être annoncée. Le passage à l’unité permet de distinguer clairement ces deux interprétations.
Compléter un tableau par des méthodes adaptées
Coefficient, retour à l’unité et propriétés des colonnes aboutissent au même résultat, mais l’une peut être plus rapide selon les nombres.
Exercice 4 : Utiliser un coefficient décimal
Facile
La masse de pommes et le prix sont proportionnels. Un kilogramme coûte \(2{,}80\) €. On achète successivement \(0{,}5\) kg, \(1{,}5\) kg et \(3{,}25\) kg.
- Calculer les trois prix.
- Écrire le coefficient qui permet de passer de la masse au prix.
Indication
Multipliez chaque masse, exprimée en kilogrammes, par le prix d’un kilogramme.
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Le coefficient est \(2{,}80\). Pour \(0{,}5\) kg, le prix vaut \(0{,}5\times2{,}80=1{,}40\) €. Pour \(1{,}5\) kg, il vaut \(1{,}5\times2{,}80=4{,}20\) €. Enfin, \(3{,}25\times2{,}80=9{,}10\) €. Les unités confirment le calcul : des kilogrammes multipliés par des euros par kilogramme donnent bien des euros.
Exercice 5 : Passer par l’unité
Moyen
Une imprimante produit \(84\) pages en \(6\) minutes à rythme constant.
- Combien imprime-t-elle de pages en une minute ?
- Combien de pages produit-elle en \(15\) minutes ?
- Combien de temps faut-il pour imprimer \(350\) pages ?
Indication
Déterminez d’abord le débit en pages par minute. Pour la dernière question, inversez le raisonnement.
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En une minute, l’imprimante produit \(84\div6=14\) pages. En \(15\) minutes, elle produit \(15\times14=210\) pages. Pour \(350\) pages, le temps vaut \(350\div14=25\) minutes. Le même coefficient \(14\) relie toujours la durée au nombre de pages. Une vérification rapide donne \(25\times14=350\).
Exercice 6 : Combiner des colonnes
Moyen
Dans une recette, \(4\) personnes nécessitent \(300\) g de riz et \(6\) personnes nécessitent \(450\) g.
- Sans calculer la quantité pour une personne, trouver la quantité pour \(10\) personnes.
- Trouver ensuite la quantité pour \(2\) personnes.
- En déduire la quantité pour \(8\) personnes de deux manières.
Indication
Dans un tableau proportionnel, on peut additionner ou soustraire deux colonnes.
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Comme \(10=4+6\), il faut \(300+450=750\) g pour dix personnes. Comme \(2=6-4\), il faut \(450-300=150\) g pour deux personnes. Pour huit personnes, on peut ajouter les colonnes correspondant à six et deux personnes : \(450+150=600\) g. On peut aussi doubler la colonne de quatre personnes : \(2\times300=600\) g. Les deux méthodes concordent et contrôlent le résultat.
Exercice 7 : Choisir la méthode la plus efficace
Moyen
Sept mètres de tissu coûtent \(59{,}50\) €. On veut calculer le prix de \(21\) m puis celui de \(5\) m.
- Calculer le prix de \(21\) m sans passer par l’unité.
- Calculer le prix de \(5\) m par passage à l’unité.
- Expliquer pourquoi les deux questions invitent à des méthodes différentes.
Indication
Observez que \(21\) est un multiple simple de \(7\), contrairement à \(5\).
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Comme \(21=3\times7\), le prix de \(21\) m vaut directement \(3\times59{,}50=178{,}50\) €. Pour cinq mètres, on calcule le prix d’un mètre : \(59{,}50\div7=8{,}50\) €, puis \(5\times8{,}50=42{,}50\) €. Multiplier une colonne est le choix le plus court dans le premier cas. Le retour à l’unité est plus naturel dans le second. Une bonne résolution ne consiste donc pas à appliquer toujours la même procédure.
Résoudre des problèmes de proportionnalité
Les situations de synthèse demandent d’identifier les grandeurs, de conserver les unités et d’interpréter le résultat.
Exercice 8 : Adapter une recette
Moyen
Pour \(6\) personnes, une soupe utilise \(1{,}8\) L de bouillon, \(750\) g de légumes et \(3\) cuillères d’huile. On prépare la recette pour \(14\) personnes.
- Calculer la quantité de bouillon.
- Calculer la masse de légumes.
- Calculer la quantité d’huile et proposer une mesure praticable.
Indication
Le coefficient d’agrandissement est \(14\div6=\frac{7}{3}\). Vous pouvez aussi calculer pour deux personnes, puis multiplier par sept.
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Pour deux personnes, il faut \(1{,}8\div3=0{,}6\) L de bouillon, \(750\div3=250\) g de légumes et une cuillère d’huile. Pour quatorze personnes, on multiplie ces quantités par \(7\) : \(4{,}2\) L de bouillon, \(1\,750\) g, soit \(1{,}75\) kg de légumes, et \(7\) cuillères d’huile. Cette méthode évite une fraction compliquée et produit des mesures directement utilisables.
Exercice 9 : Comparer deux forfaits
Difficile
Le service A facture chaque heure de location \(6{,}50\) €. Le service B demande \(8\) € de prise en charge puis \(4{,}50\) € par heure.
- Le prix du service A est-il proportionnel à la durée ?
- Le prix du service B est-il proportionnel à la durée ?
- Calculer les prix pour \(2\), \(4\) et \(6\) heures.
- À partir de quelle durée entière le service B devient-il moins cher ?
Indication
Une grandeur proportionnelle vaut zéro lorsque l’autre vaut zéro. Comparez ensuite les écarts heure par heure.
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Pour A, le prix est \(6{,}50t\) : il est proportionnel à la durée \(t\). Pour B, le prix est \(8+4{,}50t\) : la prise en charge empêche la proportionnalité. Pour \(2\) h, A coûte \(13\) € et B \(17\) € ; pour \(4\) h, les deux coûtent \(26\) € ; pour \(6\) h, A coûte \(39\) € et B \(35\) €. Après quatre heures, chaque heure supplémentaire augmente A de \(6{,}50\) € contre \(4{,}50\) € pour B. B devient donc strictement moins cher à partir de \(5\) heures.
Exercice 10 : Estimer une distance à vitesse constante
Difficile
Un cycliste parcourt \(18\) km en \(48\) minutes à allure constante. Il lui reste \(31{,}5\) km à parcourir.
- Calculer la distance parcourue en \(16\) minutes.
- En déduire la distance parcourue en une heure.
- Calculer le temps nécessaire pour les \(31{,}5\) km restants.
- S’il repart à 14 h 37, donner son heure d’arrivée.
- Expliquer pourquoi le résultat serait seulement une estimation dans une sortie réelle.
Indication
Quarante-huit minutes correspondent à trois fois seize minutes. Utilisez ensuite le débit obtenu avec des unités cohérentes.
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En \(16\) minutes, le cycliste parcourt \(18\div3=6\) km. Une heure contient \(60\div16=3{,}75\) intervalles de seize minutes, donc la vitesse vaut \(6\times3{,}75=22{,}5\) km/h. Le temps pour \(31{,}5\) km est \(31{,}5\div22{,}5=1{,}4\) h. Or \(0{,}4\) h représente \(0{,}4\times60=24\) minutes : le trajet dure 1 h 24. À partir de 14 h 37, l’arrivée est prévue à 16 h 01. Dans la réalité, relief, pauses et circulation font varier l’allure ; le calcul repose donc sur l’hypothèse idéale d’une vitesse constante.
Exercice 11 : Construire plusieurs raisonnements valides
Difficile
Une association remplit \(36\) cartons avec \(270\) livres, en mettant toujours le même nombre moyen de livres par carton. Elle reçoit \(455\) livres supplémentaires.
- Calculer le nombre moyen de livres par carton dans la première préparation.
- Ce nombre est-il entier ? Interpréter.
- Déterminer combien de cartons sont nécessaires pour \(455\) livres au même taux moyen.
- Proposer une répartition entière réaliste des \(455\) livres.
- Expliquer la différence entre un modèle proportionnel et une contrainte matérielle.
Indication
Le quotient donne une moyenne théorique. Pour des objets indivisibles, il faut ensuite adapter la répartition.
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Le taux moyen vaut \(270\div36=7{,}5\) livres par carton. Il n’est pas entier : on peut l’obtenir en mettant, par exemple, sept livres dans la moitié des cartons et huit dans l’autre moitié. Le modèle donne \(455\div7{,}5\approx60{,}67\), donc environ \(61\) cartons. Une répartition possible consiste à utiliser \(30\) cartons de \(7\) livres et \(31\) cartons de \(8\) livres : \(30\times7+31\times8=458\), ce qui dépasse de trois. On peut donc retirer un livre dans trois cartons de huit pour totaliser \(455\). Le modèle proportionnel prévoit une capacité moyenne ; la réalité impose des nombres entiers et un arrondi adapté.