Ces exercices corrigés sur les fractions en 5ème consolident l’interprétation d’un quotient, les fractions égales, la simplification et la comparaison. Le cours sur les fractions en 5ème présente les méthodes mobilisées.
Les additions et soustractions de fractions sont volontairement laissées à une série distincte. Ici, la progression s’inscrit dans le parcours de mathématiques de 5ème.
Interpréter une fraction comme quotient
La fraction \(\frac{a}{b}\) avec \(b\neq0\) est le nombre qui, multiplié par \(b\), donne \(a\).
Exercice 1 : Passer d’une écriture à l’autre
Facile
Écrire sous forme de quotient ou de fraction : \(\frac{7}{4}\), \(13\div5\), \(\frac{21}{3}\), \(0{,}8\div2\).
- Transformer les deux fractions en quotients.
- Transformer les deux quotients en fractions.
- Calculer seulement les quotients décimaux exacts.
Indication
Une barre de fraction joue le rôle du signe de division.
Voir le corrigé
\(\frac{7}{4}=7\div4\) et \(\frac{21}{3}=21\div3\). Inversement, \(13\div5=\frac{13}{5}\) et \(0{,}8\div2=\frac{0{,}8}{2}\). Les quotients exacts demandés sont \(\frac{21}{3}=7\) et \(\frac{0{,}8}{2}=0{,}4\).
Exercice 2 : Fractions et partage
Facile
Cinq personnes se partagent équitablement \(12\) litres de jus.
- Écrire la quantité reçue par une personne sous forme de fraction.
- Donner son écriture décimale.
- Expliquer pourquoi \(5\times\frac{12}{5}=12\).
- Donner la part de trois personnes.
Indication
Un partage équitable se traduit par quantité totale divisée par nombre de personnes.
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Une personne reçoit \(\frac{12}{5}\) L, soit \(2{,}4\) L. Cinq parts identiques reconstituent la quantité totale : \(5\times\frac{12}{5}=12\). Trois personnes reçoivent \(3\times\frac{12}{5}=\frac{36}{5}=7{,}2\) L.
Produire et reconnaître des fractions égales
Multiplier ou diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul conserve le quotient.
Exercice 3 : Compléter des égalités
Facile
Compléter : \(\frac{3}{5}=\frac{\square}{20}\), \(\frac{7}{9}=\frac{35}{\square}\), \(\frac{18}{24}=\frac{3}{\square}\).
- Compléter la première égalité.
- Compléter la deuxième.
- Compléter la troisième.
- Indiquer le facteur utilisé à chaque fois.
- Vérifier une égalité par produits en croix.
Indication
Le même multiplicateur ou diviseur doit être appliqué en haut et en bas.
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- \(\frac{3}{5}=\frac{12}{20}\), facteur \(4\).
- \(\frac{7}{9}=\frac{35}{45}\), facteur \(5\).
- \(\frac{18}{24}=\frac{3}{4}\), division par \(6\).
- Les facteurs sont donc \(4,5\) et \(6\) en simplification.
- Par exemple, \(3\times20=60\) et \(5\times12=60\), donc la première égalité est vérifiée.
Exercice 4 : Repérer les égalités véritables
Moyen
Décider si \(\frac{4}{6}=\frac{10}{15}\), \(\frac{7}{12}=\frac{21}{38}\), \(\frac{9}{14}=\frac{27}{42}\) et \(\frac{5}{8}=\frac{20}{30}\).
- Étudier les deux premières égalités.
- Étudier les deux dernières.
Indication
Comparez les produits en croix sans convertir en nombres décimaux.
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\(\frac{4}{6}=\frac{10}{15}\), car \(4\times15=60=6\times10\). \(\frac{7}{12}\ne\frac{21}{38}\), car \(7\times38=266\) alors que \(12\times21=252\). \(\frac{9}{14}=\frac{27}{42}\), facteur \(3\). Enfin \(\frac{5}{8}\ne\frac{20}{30}\), car \(150\ne160\).
Exercice 5 : Réparer une amplification
Moyen
Emma écrit \(\frac{5}{7}=\frac{15}{14}\), car elle a multiplié le numérateur par \(3\) et le dénominateur par \(2\).
- Expliquer l’erreur et proposer deux fractions réellement égales à \(\frac{5}{7}\).
Indication
Une fraction conserve sa valeur uniquement si les deux termes subissent la même opération.
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Emma utilise deux facteurs différents, donc le quotient change. En multipliant les deux termes par \(2\), on obtient \(\frac{10}{14}\). En les multipliant par \(3\), on obtient \(\frac{15}{21}\). Ces deux fractions sont égales à \(\frac{5}{7}\).
Simplifier jusqu’à une fraction irréductible
Une fraction irréductible n’a plus de diviseur commun au numérateur et au dénominateur autre que 1.
Exercice 6 : Simplifications immédiates
Facile
Simplifier \(\frac{18}{24}\), \(\frac{35}{50}\), \(\frac{42}{63}\) et \(\frac{45}{12}\).
- Simplifier les deux premières fractions.
- Simplifier les deux dernières.
- Justifier que chaque résultat est irréductible.
Indication
Divisez par un diviseur commun aussi grand que possible, ou procédez en plusieurs étapes contrôlées.
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\(\frac{18}{24}=\frac{3}{4}\) après division par \(6\). \(\frac{35}{50}=\frac{7}{10}\) après division par \(5\). \(\frac{42}{63}=\frac{2}{3}\) après division par \(21\). Enfin \(\frac{45}{12}=\frac{15}{4}\) après division par \(3\). Dans chaque résultat, le numérateur et le dénominateur n’ont plus de diviseur commun supérieur à \(1\).
Exercice 7 : Deux chemins de simplification
Moyen
On veut simplifier \(\frac{84}{126}\). Léa divise directement par \(42\). Sami divise d’abord par \(2\), puis par \(3\), puis par \(7\).
- Effectuer la méthode de Léa.
- Effectuer celle de Sami.
- Comparer les résultats et les étapes.
- Expliquer pourquoi les deux méthodes sont valides.
Indication
Le produit des diviseurs successifs de Sami vaut \(42\).
Voir le corrigé
Léa obtient directement \(\frac{84\div42}{126\div42}=\frac{2}{3}\). Sami obtient \(\frac{42}{63}\), puis \(\frac{14}{21}\), puis \(\frac{2}{3}\). Les deux chemins aboutissent au même résultat irréductible, car diviser successivement par \(2\), \(3\) et \(7\) revient à diviser par \(2\times3\times7=42\).
Exercice 8 : Retrouver la fraction initiale
Difficile
Une fraction a été simplifiée par \(8\) et a donné \(\frac{7}{11}\).
- Retrouver la fraction avant cette simplification.
- Donner une autre fraction qui se simplifie en \(\frac{7}{11}\), mais pas par \(8\).
Indication
Pour remonter une simplification, multipliez les deux termes par le facteur annoncé.
Voir le corrigé
La fraction initiale est \(\frac{7\times8}{11\times8}=\frac{56}{88}\). Une autre réponse possible est \(\frac{21}{33}\), obtenue en multipliant les deux termes par \(3\). Elle se simplifie par \(3\), et non par \(8\).
Comparer et raisonner avec des fractions
On choisit la méthode adaptée : même dénominateur, même numérateur, comparaison à 1 ou dénominateur commun.
Exercice 9 : Choisir une méthode de comparaison
Moyen
Comparer \(\frac{5}{9}\) et \(\frac{7}{9}\), \(\frac{4}{7}\) et \(\frac{4}{5}\), \(\frac{11}{8}\) et \(1\), puis \(\frac{3}{4}\) et \(\frac{5}{6}\).
- Comparer les deux premières paires.
- Comparer \(\frac{11}{8}\) à \(1\).
- Comparer la dernière paire avec un dénominateur commun.
- Nommer la méthode utilisée dans chaque cas.
Indication
Ne réduisez au même dénominateur que lorsque les comparaisons immédiates ne suffisent pas.
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\(\frac{5}{9}<\frac{7}{9}\) : même dénominateur. \(\frac{4}{7}<\frac{4}{5}\) : à numérateur égal, la plus grande part correspond au plus petit dénominateur. \(\frac{11}{8}>1\), car \(11>8\). Enfin \(\frac{3}{4}=\frac{9}{12}\) et \(\frac{5}{6}=\frac{10}{12}\), donc \(\frac{3}{4}<\frac{5}{6}\).
Exercice 10 : Ranger cinq fractions
Difficile
Ranger \(\frac{2}{3}\), \(\frac{7}{12}\), \(\frac{5}{6}\), \(\frac{3}{4}\) et \(\frac{1}{2}\) par ordre croissant.
- Choisir un dénominateur commun pertinent.
- Transformer les cinq fractions.
- Donner le rangement.
Indication
Le nombre \(12\) est un multiple commun de \(2\), \(3\), \(4\), \(6\) et \(12\).
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Avec le dénominateur \(12\), on obtient \(\frac{8}{12}\), \(\frac{7}{12}\), \(\frac{10}{12}\), \(\frac{9}{12}\) et \(\frac{6}{12}\). Ainsi \(\frac{1}{2}<\frac{7}{12}<\frac{2}{3}<\frac{3}{4}<\frac{5}{6}\). Le dénominateur commun transforme la comparaison en comparaison des numérateurs.
Exercice 11 : Une recette à comparer
Difficile
Dans la recette A, le cacao représente \(\frac{3}{8}\) de la masse. Dans la recette B, il représente \(\frac{5}{12}\).
- Déterminer quelle recette est la plus riche en cacao.
- Calculer l’écart sous forme d’une fraction simplifiée.
- Expliquer pourquoi comparer seulement \(3\) et \(5\) serait incorrect.
- Proposer une troisième fraction située entre les deux proportions.
- Vérifier cette proposition.
Indication
Utilisez le dénominateur commun \(24\), puis cherchez une fraction intermédiaire.
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\(\frac{3}{8}=\frac{9}{24}\) et \(\frac{5}{12}=\frac{10}{24}\) : la recette B est plus riche. L’écart vaut \(\frac{1}{24}\). Comparer seulement les numérateurs ignore la taille des parts fixée par les dénominateurs. Une proportion intermédiaire est par exemple \(\frac{19}{48}\), car \(\frac{3}{8}=\frac{18}{48}<\frac{19}{48}<\frac{20}{48}=\frac{5}{12}\).