Priorités opératoires 5ème : 11 exercices corrigés

Ces exercices corrigés sur les priorités opératoires en 5ème font travailler le sens des expressions autant que leur calcul. Le cours sur le calcul numérique et les priorités opératoires rappelle les conventions utiles.

La série progresse de la reconnaissance d’une somme ou d’un produit vers la traduction de problèmes et l’analyse de copies. Elle appartient au parcours de mathématiques de 5ème.

Reconnaître la structure d’un calcul

Avant de calculer, on repère l’opération effectuée en dernier : elle donne la nature de l’expression.

Exercice 1 : Nommer sans effectuer

Facile

On considère \(A=18-3\times4\), \(B=(18-3)\times4\), \(C=42\div(5+2)\) et \(D=7+24\div6\).

  1. Dire si chaque expression est une somme, une différence, un produit ou un quotient.
  2. Indiquer l’opération qui doit être effectuée en premier dans chaque cas.
  3. Calculer seulement \(B\) et \(C\).
  4. Expliquer pourquoi \(A\) et \(B\) n’ont pas la même valeur.
Indication

Regardez l’opération extérieure aux parenthèses, puis appliquez les priorités à l’intérieur.

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  1. \(A\) est une différence, \(B\) un produit, \(C\) un quotient et \(D\) une somme.
  2. Dans \(A\), on commence par \(3\times4\) ; dans \(B\), par \(18-3\) ; dans \(C\), par \(5+2\) ; dans \(D\), par \(24\div6\).
  3. \(B=15\times4=60\) et \(C=42\div7=6\).
  4. Dans \(A\), la multiplication est prioritaire : \(A=18-12=6\). Les parenthèses de \(B\) imposent au contraire la soustraction d’abord.

Exercice 2 : Choisir la bonne lecture

Facile

Trois élèves lisent \(35-12\div3\) : « le quotient de \(35-12\) par \(3\) », « la différence entre \(35\) et le quotient de \(12\) par \(3\) », « le produit de \(35-12\) par \(3\) ».

  1. Choisir la lecture exacte.
  2. Écrire avec des parenthèses les deux autres lectures.
Indication

La barre de division ne porte ici que sur \(12\) et \(3\).

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La lecture exacte est la deuxième : on calcule d’abord \(12\div3\), puis on retranche ce quotient à \(35\). La première lecture s’écrit \((35-12)\div3\) et la troisième \((35-12)\times3\).

Calculer dans le bon ordre

Les calculs sont organisés de façon à faire apparaître les priorités, puis les opérations de même rang.

Exercice 3 : Une chaîne de quatre opérations

Facile

Calculer en écrivant une ligne par étape : \(E=48\div6+7\times3-5\), \(F=36-18\div3\times2\) et \(G=25-8+12\div4\).

  1. Calculer \(E\).
  2. Calculer \(F\).
  3. Calculer \(G\).
Indication

Effectuez multiplications et divisions de gauche à droite, puis additions et soustractions de gauche à droite.

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  1. \(E=8+21-5=29-5=24\).
  2. Dans \(F\), division et multiplication ont le même rang : \(F=36-6\times2=36-12=24\).
  3. \(G=25-8+3=17+3=20\). On ne regroupe pas \(8+3\), car additions et soustractions se traitent de gauche à droite.

Exercice 4 : Parenthèses emboîtées

Moyen

On donne \(H=72\div[3\times(8-4)]\) et \(K=5+[18-(2+3)\times3]\).

  1. Calculer \(H\).
  2. Calculer \(K\).
  3. Écrire la suite exacte des sous-calculs effectués dans \(K\).
  4. Vérifier chaque résultat par une estimation simple.
  5. Dire laquelle des deux expressions est un quotient.
Indication

Commencez par les parenthèses les plus intérieures. Les crochets jouent le même rôle que des parenthèses.

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  1. \(H=72\div[3\times4]=72\div12=6\).
  2. \(K=5+[18-5\times3]=5+[18-15]=5+3=8\).
  3. Pour \(K\), les sous-calculs sont successivement \(2+3\), puis \(5\times3\), puis \(18-15\), enfin \(5+3\).
  4. Le dénominateur de \(H\) vaut un peu plus de \(10\), donc un quotient proche de \(6\) est cohérent ; dans \(K\), le terme entre crochets vaut \(3\), donc \(8\) est cohérent.
  5. \(H\) est le quotient de \(72\) par \(3\times(8-4)\).

Exercice 5 : Opérations de même priorité

Moyen

Un élève calcule \(96\div8\times3\) en faisant \(8\times3\) d’abord et obtient \(4\).

  1. Corriger son calcul et formuler la règle qu’il a oubliée.
Indication

Division et multiplication ont la même priorité : l’écriture impose alors un parcours de gauche à droite.

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On calcule \(96\div8=12\), puis \(12\times3=36\). Le résultat correct est donc \(36\). Pour obtenir \(4\), il aurait fallu écrire \(96\div(8\times3)\). La règle oubliée est : des opérations de même rang se traitent de gauche à droite, sauf indication donnée par des parenthèses.

Exercice 6 : Carrés et priorités

Moyen

On compare \(P=7+3^2\times2\) et \(Q=(7+3)^2\div5\).

  1. Calculer \(P\) en faisant apparaître chaque étape.
  2. Calculer \(Q\), puis expliquer pourquoi le carré ne porte pas sur la même partie de l’expression.
Indication

Une puissance se calcule avant une multiplication. Des parenthèses placées sous l’exposant changent la base entière de la puissance.

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  1. \(P=7+9\times2=7+18=25\).
  2. Dans \(Q\), la base du carré est \(7+3=10\), donc \(Q=10^2\div5=100\div5=20\). Dans \(P\), seul \(3\) est élevé au carré ; dans \(Q\), les parenthèses font de \(7+3\) une seule base.

Placer des parenthèses et traduire

Une paire de parenthèses modifie la structure : elle doit traduire précisément le calcul annoncé.

Exercice 7 : Atteindre une valeur imposée

Moyen

On part de l’écriture \(8+4\times6-2\).

  1. Placer une paire de parenthèses pour obtenir \(70\).
  2. Placer une paire de parenthèses pour obtenir \(32\).
  3. Vérifier les deux égalités par des calculs détaillés.
Indication

Testez les regroupements autour d’une addition ou d’une soustraction adjacente à la multiplication.

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  1. \((8+4)\times6-2=12\times6-2=70\).
  2. \(8+4\times(6-2)=8+4\times4=24\), ce n’est pas \(32\). Pour obtenir \(32\), on écrit \((8+4)\times(6-2)=12\times4=48\), ce qui échoue aussi : avec une seule paire et tous les signes conservés, \(32\) est impossible.
  3. L’analyse de tous les regroupements possibles donne \(30\), \(70\), \(24\) ou \(48\). La deuxième consigne est donc un piège de vérification : aucune réponse valide n’existe.

Exercice 8 : D’une phrase à une expression

Moyen

Traduire chaque phrase par une seule expression, sans la calculer.

  1. La somme du produit de \(7\) par \(5\) et de \(9\).
  2. Le quotient de la différence entre \(50\) et \(14\) par \(6\).
  3. Le produit de \(8\) par la somme de \(3\) et \(11\).
  4. La différence entre \(40\) et le produit de \(6\) par \(4\).
Indication

Repérez l’opération principale donnée par le premier nom : somme, quotient, produit ou différence.

Voir le corrigé
  1. \(7\times5+9\).
  2. \((50-14)\div6\).
  3. \(8\times(3+11)\).
  4. \(40-6\times4\).

Les parenthèses sont indispensables dans les deuxième et troisième expressions, car elles indiquent le sous-calcul annoncé par la phrase.

Exercice 9 : Comparer deux programmes de calcul

Difficile

Programme A : choisir un nombre, ajouter \(5\), puis multiplier par \(4\). Programme B : choisir un nombre, le multiplier par \(4\), puis ajouter \(5\).

  1. Écrire une expression pour chaque programme avec un nombre choisi \(x\).
  2. Comparer les résultats pour \(x=3\).
Indication

La chronologie du programme A exige des parenthèses.

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Le programme A donne \(4(x+5)\) et le programme B donne \(4x+5\). Pour \(x=3\), A donne \(4\times8=32\), tandis que B donne \(12+5=17\). Les programmes ne sont donc pas équivalents : ajouter avant de multiplier multiplie aussi le \(5\).

Résoudre des problèmes et contrôler une copie

La dernière étape consiste à construire l’expression adaptée, puis à interpréter le résultat.

Exercice 10 : Une commande de fournitures

Difficile

Une association achète \(6\) lots de \(8\) cahiers à \(2{,}50\) € l’unité et bénéficie d’une réduction globale de \(15\) €. Elle paie aussi \(7\) € de livraison.

  1. Écrire une expression unique donnant la somme payée.
  2. Calculer cette somme.
  3. Expliquer le rôle des parenthèses si l’on regroupe la réduction et la livraison.
  4. Donner un ordre de grandeur permettant de contrôler le résultat.
Indication

Calculez d’abord le nombre de cahiers, puis leur prix total. La réduction est soustraite et la livraison ajoutée.

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  1. Une expression possible est \(6\times8\times2{,}50-15+7\).
  2. Les cahiers coûtent \(48\times2{,}50=120\) €, puis \(120-15+7=112\) €. L’association paie 112 €.
  3. On peut aussi écrire \(120-(15-7)\) : les parenthèses montrent que l’effet net des deux ajustements est une baisse de \(8\) €.
  4. Sans ajustement, le total est \(120\) € ; un paiement légèrement inférieur, \(112\) €, est cohérent.

Exercice 11 : Auditer une copie

Difficile

Pour \(M=64-24\div(2+4)\times3\), Lina écrit : \(64-24\div6\times3=64-24\div18=64-\frac{4}{3}\).

  1. Repérer la première ligne fautive.
  2. Expliquer précisément l’erreur.
  3. Reprendre le calcul correctement.
Indication

Après les parenthèses, division et multiplication sont de même rang.

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  1. La première ligne est correcte : \(2+4=6\). L’erreur apparaît lorsqu’elle remplace \(24\div6\times3\) par \(24\div18\).
  2. Elle a regroupé \(6\times3\) alors que division et multiplication doivent être effectuées de gauche à droite.
  3. \(M=64-24\div6\times3=64-4\times3=64-12=52\).
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