Les parallélogrammes en 5ème sont des quadrilatères dont les côtés opposés sont parallèles. Cette définition entraîne des propriétés sur les longueurs, les angles et les diagonales ; certaines propriétés réciproques permettent aussi de prouver qu’un quadrilatère est un parallélogramme.
La difficulté n’est pas de mémoriser une liste, mais de choisir le critère compatible avec les données. Le cours est donc structuré comme une boîte à outils de reconnaissance, de construction et de justification.
Définition et vocabulaire du quadrilatère
Parallélogramme
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. Pour \(ABCD\), écrit dans l’ordre des sommets, on a \((AB)\parallel(CD)\) et \((AD)\parallel(BC)\).
L’ordre des lettres est essentiel : les côtés opposés sont \(AB\) et \(CD\), puis \(AD\) et \(BC\). Les segments \(AC\) et \(BD\) sont les diagonales.
Ce que la définition entraîne
Propriétés d’un parallélogramme
- Ses côtés opposés ont la même longueur.
- Ses angles opposés ont la même mesure.
- Deux angles consécutifs sont supplémentaires.
- Ses diagonales se coupent en leur milieu.
Ces propriétés partent d’un parallélogramme déjà établi. Elles servent à calculer \(CD\) si \(AB\) est connu, à obtenir un angle opposé ou à localiser le milieu commun des diagonales.
Prouver avec les diagonales
Critère des diagonales
Si les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
Si \(O\) appartient à \([AC]\) et \([BD]\), avec \(OA=OC\) et \(OB=OD\), les deux diagonales ont le même milieu \(O\). On peut conclure que \(ABCD\) est un parallélogramme.
Ce critère est particulièrement utile lorsque le dessin donne des codages de segments égaux sur les diagonales. Il ne demande aucune mesure d’angle.
Prouver avec les côtés
| Hypothèses suffisantes | Conclusion |
|---|---|
| Côtés opposés parallèles deux à deux | \(ABCD\) est un parallélogramme |
| Côtés opposés de même longueur deux à deux | \(ABCD\) est un parallélogramme |
| Une paire de côtés opposés à la fois parallèle et de même longueur | \(ABCD\) est un parallélogramme |
Une seule paire de côtés égaux ne suffit pas. Une seule paire de côtés parallèles non plus : un trapèze possède cette propriété. Le troisième critère exige que la même paire soit à la fois parallèle et égale.
Erreur fréquente : un quadrilatère dont les diagonales ont la même longueur n’est pas forcément un parallélogramme. Le critère porte sur leur milieu commun, pas sur leur longueur totale.
Construire à partir de deux côtés et d’un angle
Pour construire \(ABCD\) avec \(AB=6\) cm, \(AD=4\) cm et \(\widehat{DAB}=70^\circ\) :
- Tracer \([AB]\) de \(6\) cm.
- Construire en \(A\) un angle de \(70^\circ\), puis placer \(D\) à \(4\) cm.
- Tracer par \(B\) la parallèle à \((AD)\).
- Tracer par \(D\) la parallèle à \((AB)\).
- Nommer \(C\) leur intersection.
La construction applique directement la définition. Les parallèles garantissent la nature de la figure, tandis que les mesures initiales fixent sa taille.
Construire avec le milieu des diagonales
Si trois sommets \(A,B,C\) consécutifs sont connus, on peut construire le quatrième en utilisant les diagonales. On trace \([AC]\), on en détermine le milieu \(O\), puis on place \(D\) sur \((BO)\) de sorte que \(OB=OD\).
Ainsi \(O\) est le milieu de \([AC]\) et de \([BD]\). Le critère des diagonales prouve que \(ABCD\) est un parallélogramme.
Cette construction est aussi une symétrie centrale de centre \(O\), notion étudiée dans Symétrie centrale 5ème.
Parallélogrammes particuliers
| Figure | Propriété supplémentaire |
|---|---|
| Rectangle | Un angle droit |
| Losange | Deux côtés consécutifs égaux |
| Carré | Un angle droit et deux côtés consécutifs égaux |
Comme ces figures sont des parallélogrammes, elles héritent de toutes les propriétés précédentes. Le rectangle ajoute quatre angles droits ; le losange ajoute quatre côtés égaux ; le carré réunit les deux.
Pour prouver qu’un parallélogramme est un rectangle, il suffit donc d’établir un angle droit. Pour prouver qu’il est un losange, deux côtés consécutifs égaux suffisent.
Aire : choisir une base et sa hauteur
Aire du parallélogramme
La hauteur est la distance perpendiculaire entre la base et le côté opposé. Elle n’est généralement pas égale à un côté oblique. Un découpage-déplacement transforme le parallélogramme en rectangle sans changer l’aire.
Pour une base de \(8\) cm et une hauteur de \(3,5\) cm, l’aire vaut \(28\,\text{cm}^2\).
Erreur fréquente : multiplier deux côtés consécutifs ne donne l’aire que s’ils sont perpendiculaires. Dans un parallélogramme oblique, il faut la hauteur.
Rédiger une démonstration sans propriété superflue
Une preuve efficace utilise exactement le critère adapté. Exemple : « Les diagonales \([AC]\) et \([BD]\) se coupent en \(O\). Les codages donnent \(OA=OC\) et \(OB=OD\). Elles se coupent donc en leur milieu. Par conséquent, \(ABCD\) est un parallélogramme. »
Ajouter que les côtés « ont l’air parallèles » affaiblit la rédaction. Les méthodes de transport d’angles et de preuve de parallélisme sont disponibles dans Angles et parallélisme 5ème.
Astuce : commencer par relever la nature des données : côtés, diagonales, parallèles ou angles. Cela réduit immédiatement la liste des critères possibles.
Choisir un critère dans trois configurations
Configuration 1 : \(AB=CD\) et \(AD=BC\). Les côtés opposés sont égaux deux à deux ; le quadrilatère est un parallélogramme.
Configuration 2 : \(AB=CD\) et \((AB)\parallel(CD)\). La même paire de côtés opposés est égale et parallèle ; le critère suffit.
Configuration 3 : \(AC=BD\) seulement. L’égalité des longueurs des diagonales ne suffit pas. Un trapèze isocèle peut aussi avoir des diagonales égales.
Le troisième cas est aussi important que les deux premiers : savoir qu’une donnée est insuffisante empêche une conclusion fondée sur l’apparence.
Calcul d’angles et de longueurs
Dans le parallélogramme \(ABCD\), \(AB=7,2\) cm, \(AD=4,5\) cm et \(\widehat A=68^\circ\). Les côtés opposés donnent \(CD=7,2\) cm et \(BC=4,5\) cm.
L’angle opposé \(\widehat C\) vaut \(68^\circ\). Les angles consécutifs sont supplémentaires, donc \(\widehat B=\widehat D=180^\circ-68^\circ=112^\circ\).
Les quatre valeurs sont déduites des propriétés, sans mesurer le dessin. Si la figure est réduite ou déformée sur l’écran, les conclusions restent exactes.
Parallélogrammes 5ème : l’essentiel à retenir
Les parallélogrammes en 5ème se travaillent dans les deux sens : partir de la définition pour obtenir des propriétés, ou partir d’un critère pour reconnaître la figure. Diagonales, côtés et parallélisme offrent plusieurs preuves, mais une seule bien choisie suffit.
Le programme officiel de mathématiques du cycle 4 valorise cette sélection raisonnée des propriétés autant que la précision des constructions.