Les pourcentages et échelles en 5ème utilisent la même idée : une grandeur est obtenue en multipliant une autre par un coefficient. Un pourcentage compare une part à un total ramené à \(100\) ; une échelle compare une longueur sur un plan à la longueur réelle correspondante.
Les erreurs viennent rarement de la multiplication elle-même. Elles apparaissent lorsqu’on confond la part et le total, qu’on utilise \(15\) au lieu de \(0,15\), ou que l’on compare des centimètres à des kilomètres. Cette leçon organise donc les calculs autour du sens et des unités.
Un pourcentage est une fraction sur cent
Taux en pourcentage
Le taux \(t\,\%\) désigne la fraction \(\frac{t}{100}\). Il indique combien de parts on prend si le total est partagé en \(100\) parts égales.
Cette égalité fournit trois écritures du même coefficient. La forme en pourcentage facilite la communication, la fraction montre le rapport au total et l’écriture décimale est pratique pour multiplier.
Ainsi \(50\,\%=\frac12\), \(25\,\%=\frac14\), \(10\,\%=\frac1{10}\) et \(1\,\%=\frac1{100}\). Ces repères permettent souvent un calcul mental.
Calculer une part connaissant le total
Appliquer un taux
Pour calculer \(t\,\%\) d’une quantité \(Q\), on multiplie \(Q\) par \(\frac{t}{100}\), c’est-à-dire par l’écriture décimale du taux.
On peut aussi décomposer mentalement : \(10\,\%\) de \(240\) vaut \(24\), \(5\,\%\) vaut la moitié, soit \(12\), donc \(15\,\%\) vaut \(36\).
Erreur fréquente : appliquer \(15\,\%\) ne signifie pas multiplier par \(15\). Le coefficient est \(0,15\), car le taux est rapporté à \(100\).
Retrouver le taux ou le total
Lorsque la part \(p\) et le total \(T\) sont connus, le taux est le quotient \(\frac{p}{T}\) converti en pourcentage.
Lorsque la part et le taux sont connus, on effectue l’opération inverse. Si \(36\) représente \(15\,\%\) d’un total \(T\), alors \(0,15T=36\), donc \(T=36\div0,15=240\).
| Données connues | Recherche | Opération |
|---|---|---|
| Total et taux | Part | \(T\times t\) |
| Part et total | Taux | \(p\div T\) |
| Part et taux | Total | \(p\div t\) |
Dans le tableau, \(t\) est l’écriture décimale du taux : \(18\,\%\) devient \(0,18\).
Pourcentage d’un pourcentage
Deux sélections successives se traduisent par deux multiplications. Dans un collège, \(60\,\%\) des \(500\) élèves sont demi-pensionnaires, et \(20\,\%\) d’entre eux choisissent un menu végétarien.
Les \(60\) élèves représentent \(12\,\%\) de l’ensemble, car \(0,60\times0,20=0,12\). On ne doit pas additionner les taux : les \(20\,\%\) s’appliquent à un sous-groupe et non aux \(500\) élèves.
Comprendre une échelle comme un rapport de longueurs
Échelle d’un plan
Une échelle est le rapport entre une longueur mesurée sur la représentation et la longueur réelle correspondante, exprimées dans la même unité.
À l’échelle \(1:100\,000\), \(1\) cm sur la carte représente \(100\,000\) cm dans la réalité, soit \(1\) km. L’échelle est donc un coefficient de réduction.
Passer de la carte au terrain
Une distance de \(6,4\) cm sur une carte à l’échelle \(1:25\,000\) correspond à :
Les conversions viennent après la multiplication. On conserve d’abord l’unité de la mesure sur la carte, ici le centimètre, puis on transforme le résultat en une unité adaptée au terrain.
Dans le sens inverse, une distance réelle de \(3\) km devient \(300\,000\) cm. À l’échelle \(1:50\,000\), la longueur sur la carte vaut \(300\,000\div50\,000=6\) cm.
Erreur fréquente : le numérateur et le dénominateur de l’échelle doivent comparer la même unité. On ne peut pas diviser directement \(5\) cm par \(2\) km.
Choisir une méthode selon la question
| Question | Coefficient | Sens du calcul |
|---|---|---|
| Calculer \(18\,\%\) d’un total | \(0,18\) | Multiplier le total |
| Trouver la distance réelle à \(1:n\) | \(n\) | Multiplier la carte |
| Trouver la distance sur la carte à \(1:n\) | \(n\) | Diviser le réel |
| Retrouver un total depuis une part | taux décimal | Diviser la part |
Avant l’opération, une phrase de prévision aide : une réduction à l’échelle doit donner une longueur sur le plan plus petite que la longueur réelle ; une part de \(8\,\%\) doit être nettement inférieure au total.
Les tableaux, coefficients et méthodes de retour à l’unité sont développés dans le cours de proportionnalité en 5ème.
Contrôler un résultat dans son contexte
Si \(5\,\%\) d’une classe de \(28\) élèves donne \(140\) élèves, le résultat est impossible : une part ne peut pas dépasser le total lorsque le taux est inférieur à \(100\,\%\). De même, une carte routière de quelques centimètres ne peut pas représenter seulement quelques centimètres réels.
Les fractions fournissent aussi des contrôles rapides : \(25\,\%\) est un quart, donc \(25\,\%\) de \(80\) vaut \(20\). Le cours sur les fractions en 5ème permet de passer sans hésitation entre fraction, décimal et pourcentage.
Astuce : écrire systématiquement « part », « total », « carte » ou « réel » à côté des valeurs avant de choisir l’opération.
Réduction commerciale : distinguer remise et prix final
Un sac coûte \(80\) € et bénéficie d’une remise de \(15\,\%\). La remise vaut \(80\times0,15=12\) €. Le prix final est donc \(80-12=68\) €.
On peut aussi utiliser directement le coefficient restant : payer après une remise de \(15\,\%\), c’est payer \(85\,\%\) du prix initial, donc \(80\times0,85=68\) €.
La remise et le prix final ne sont pas la même grandeur. Répondre \(12\) € lorsque la question demande « combien paie-t-on ? » est une erreur d’interprétation, même si le calcul du pourcentage est juste.
Plan d’une pièce : une échelle choisie
Une salle mesure \(8\) m sur \(5,5\) m. À l’échelle \(1:100\), on convertit d’abord en centimètres : \(800\) cm sur \(550\) cm. Les dimensions du dessin sont \(8\) cm sur \(5,5\) cm.
À l’échelle \(1:50\), le dessin mesurerait \(16\) cm sur \(11\) cm. Une échelle de dénominateur plus petit produit donc un dessin plus grand, car la réduction est moins forte.
Pour choisir une échelle, il faut vérifier que le dessin tient sur le support tout en restant lisible. L’échelle est une décision de représentation, pas seulement une opération de conversion.
Pourcentages et échelles 5ème : l’essentiel à retenir
Les pourcentages et échelles en 5ème sont des situations de proportionnalité. Pour un pourcentage, le coefficient est un taux ramené à \(100\) ; pour une échelle, il compare deux longueurs écrites dans la même unité. Identifier le sens du coefficient décide entre multiplier et diviser.
Ces usages sont explicitement reliés aux changements de représentation dans le programme officiel de mathématiques du cycle 4 et préparent les fonctions de proportionnalité.