Partager \(157\) objets en boîtes de \(12\) et partager \(15,7\) litres entre \(4\) personnes utilisent la même opération, mais pas le même type de réponse. Ce cours sur la division euclidienne et la division décimale en 6ème apprend à distinguer quotient entier, reste, quotient exact et valeur approchée. Il explique aussi comment poser une division et contrôler chaque résultat par une multiplication.
La question à se poser avant tout calcul est la suivante : cherche-t-on un nombre entier de groupes avec un reste, ou la valeur éventuellement décimale d’une part ? Cette décision évite de poursuivre inutilement une division ou, au contraire, de s’arrêter trop tôt.
Division euclidienne et division décimale 6ème : deux sens de la division
Avant de comparer les deux écritures, il faut comprendre les deux situations concrètes que la division peut modéliser.
Division-partage
On connaît le nombre de parts et on cherche la valeur d’une part. Partager \(24\) biscuits également entre \(6\) élèves revient à calculer \(24\div6=4\). Chaque élève reçoit \(4\) biscuits.
Division-groupement
On connaît la taille d’un groupe et on cherche combien de groupes peuvent être formés. Ranger \(24\) biscuits dans des sachets de \(6\) revient aussi à calculer \(24\div6=4\). On forme \(4\) sachets.
Le calcul est le même, mais l’unité de la réponse change. Dans le premier cas, le quotient s’exprime en biscuits par élève ; dans le second, en sachets.
| Question | Nombre connu | Nombre recherché |
|---|---|---|
| Combien chacun reçoit-il ? | nombre de parts | valeur d’une part |
| Combien de groupes peut-on former ? | taille d’un groupe | nombre de groupes |
Définition de la division euclidienne
Lorsque les objets ne peuvent pas être découpés et que l’on travaille avec des entiers, la division euclidienne décrit les groupes complets et ce qui reste.
Égalité de la division euclidienne
Soient \(a\) un entier naturel et \(b\) un entier naturel non nul. Effectuer la division euclidienne de \(a\) par \(b\), c’est déterminer deux entiers \(q\) et \(r\) tels que :
Le nombre \(a\) est le dividende, \(b\) le diviseur, \(q\) le quotient entier et \(r\) le reste.
Dans la division euclidienne de \(157\) par \(12\), on obtient \(q=13\) et \(r=1\), car :
Les deux vérifications sont nécessaires : l’égalité doit être vraie et le reste doit être strictement inférieur au diviseur.
Erreur fréquente : l’écriture \(157=12\times12+13\) est une égalité vraie, mais elle ne donne pas la division euclidienne de \(157\) par \(12\), car le reste \(13\) n’est pas inférieur au diviseur \(12\).
Comprendre le quotient et le reste avec une représentation
La formule devient concrète lorsqu’on visualise des groupes complets et les éléments qui ne peuvent plus former un groupe.
On ne peut pas former un cinquième groupe de \(6\), car il faudrait un élément supplémentaire. Le quotient entier est donc \(4\), et non \(5\).
Poser une division euclidienne en 6ème
La représentation donne le sens ; la technique posée permet de traiter des nombres plus grands sans perdre le contrôle du quotient.
Méthode pas à pas
- Lire le dividende depuis la gauche jusqu’à obtenir un nombre supérieur ou égal au diviseur.
- Chercher combien de fois le diviseur tient dans ce nombre sans le dépasser.
- Écrire ce chiffre au quotient, multiplier puis soustraire.
- Abaisser le chiffre suivant et recommencer.
- À la fin, vérifier que le reste est inférieur au diviseur.
Pour diviser \(675\) par \(42\), on commence avec \(67\). Le multiple \(42\times1=42\) convient, tandis que \(42\times2=84\) dépasse \(67\). On écrit \(1\) au quotient, puis \(67-42=25\). En abaissant le \(5\), on obtient \(255\). Comme \(42\times6=252\), le deuxième chiffre du quotient est \(6\), et le reste vaut \(3\).
Contrôler sans refaire toute la division
On calcule \(42\times16=672\), puis \(672+3=675\). On vérifie aussi \(3<42\). Ces deux contrôles suffisent pour valider quotient et reste.
Choisir l’interprétation du reste dans un problème
Le reste n’est pas une décoration du calcul : il modifie parfois directement la réponse attendue.
| Situation | Division | Réponse interprétée |
|---|---|---|
| 157 livres, cartons de 12 | \(157=12\times13+1\) | 13 cartons pleins et 1 livre restant |
| 157 personnes, bus de 12 places | \(157=12\times13+1\) | 14 bus nécessaires, car la personne restante doit voyager |
| 157 bonbons partagés entre 12 enfants sans découpe | \(157=12\times13+1\) | 13 bonbons chacun et 1 bonbon restant |
Dans le problème des bus, la réponse n’est pas le quotient \(13\), mais \(14\). Le contexte oblige à prévoir un véhicule supplémentaire.
Définition de la division décimale
Lorsque la quantité peut être partagée avec des dixièmes, centièmes ou millièmes, le reste peut être transformé pour poursuivre le calcul.
Quotient décimal exact ou approché
Effectuer la division décimale d’un nombre \(a\) par un nombre non nul \(b\), c’est chercher la valeur exacte de \(a\div b\), ou une valeur approchée si l’écriture décimale ne s’arrête pas.
La division \(23\div5\) donne d’abord \(4\) unités et un reste de \(3\). Les \(3\) unités restantes valent \(30\) dixièmes. On peut les partager en \(5\) groupes de \(6\) dixièmes :
Le contrôle utilise l’opération inverse : \(4,6\times5=23\). Ici, le quotient \(4,6\) est exact.
Valeur exacte et valeur approchée
La division \(10\div3\) ne s’arrête pas :
La fraction \(\frac{10}{3}\) est la valeur exacte. Le nombre \(3,33\) est une valeur approchée au centième par défaut, et \(3,3\) une valeur approchée au dixième.
Savoir quand arrêter une division
Une division s’arrête naturellement lorsque le reste devient nul : le quotient décimal obtenu est alors exact. Si les restes se répètent sans jamais devenir nuls, l’écriture décimale ne se termine pas. L’énoncé doit dans ce cas préciser la précision attendue, par exemple « au dixième » ou « au centième ».
Pour donner l’arrondi de \(10\div3\) au centième, on conserve deux chiffres après la virgule et on observe le suivant. Comme ce troisième chiffre est \(3\), l’arrondi est \(3,33\). Pour \(8\div6=1,333\ldots\), l’arrondi au dixième est \(1,3\). En revanche, si le chiffre suivant vaut \(5\) ou davantage, on augmente le dernier chiffre conservé d’une unité.
La réponse doit annoncer sa nature. On écrit \(\frac{10}{3}\) pour la valeur exacte et \(3,33\) pour une valeur approchée au centième. Le signe \(=\) relie deux valeurs égales ; lorsque l’on arrondit, on utilise le signe \(\approx\).
Le lien entre quotient exact et écriture fractionnaire est détaillé dans le cours sur les fractions en 6ème.
Diviser un nombre décimal par un entier
La même technique s’applique lorsque le dividende possède déjà une partie décimale, à condition de faire apparaître la virgule au bon moment dans le quotient.
Pour calculer \(16,2\div3\), on partage d’abord \(16\) unités. On obtient \(5\) unités par part et il reste \(1\) unité. En atteignant la virgule du dividende, on place la virgule au quotient. L’unité restante et les \(2\) dixièmes forment \(12\) dixièmes, qui donnent \(4\) dixièmes par part.
Ajouter des zéros sans changer le dividende
Si davantage de décimales sont nécessaires, on peut écrire \(7,5=7,50=7,500\). Ces zéros permettent de poursuivre la division en centièmes ou en millièmes.
Erreur fréquente : lorsqu’on abaisse le premier chiffre de la partie décimale, la virgule doit apparaître au quotient. L’oublier multiplie le résultat par \(10\), \(100\) ou davantage.
Différence entre division euclidienne et division décimale
Les deux divisions commencent souvent de la même façon, mais elles ne répondent pas à la même question finale.
| Critère | Division euclidienne | Division décimale |
|---|---|---|
| Nombres de départ | dividende et diviseur entiers | dividende entier ou décimal, diviseur non nul |
| Résultat | quotient entier et reste entier | quotient exact ou valeur approchée |
| Écriture de contrôle | \(a=bq+r\), avec \(0\le r<b\) | \(b\times q=a\) si le quotient est exact |
| Situation typique | objets indivisibles, groupes complets | longueurs, masses, prix ou parts divisibles |
Avec \(23\div5\), la division euclidienne donne \(23=5\times4+3\). La division décimale poursuit le partage des \(3\) unités et donne \(4,6\). Les deux réponses sont justes, mais elles ne décrivent pas le même niveau de précision.
Ordre de grandeur et vérification d’un quotient
La technique posée ne protège pas d’un chiffre de quotient trop grand ou d’une virgule décalée. Une estimation rapide fournit un garde-fou.
Encadrer le quotient avec des multiples
Pour estimer \(428\div7\), on cherche des multiples simples de \(7\) proches de \(428\). Comme \(7\times60=420\) et \(7\times70=490\), le quotient est compris entre \(60\) et \(70\), et il est proche de \(60\).
Pour \(31,5\div5\), le quotient doit être un peu supérieur à \(30\div5=6\). Le résultat exact \(6,3\) est cohérent.
Trois contrôles rapides
- Le diviseur n’est pas nul.
- Le quotient possède un ordre de grandeur cohérent.
- La multiplication du quotient par le diviseur redonne le dividende, éventuellement avec le reste.
Erreur fréquente : un quotient n’est pas toujours plus petit que le dividende. Diviser \(5\) par \(0,5\) donne \(10\). En 6ème, la technique posée étudiée porte surtout sur la division d’un décimal par un entier non nul.
Résoudre des problèmes de division en 6ème
Le choix du type de division se fait à partir des objets du problème et de l’unité attendue, jamais à partir des seuls chiffres.
Exemple 1 : fabriquer des lots
Une association possède \(286\) bouteilles et prépare des caisses de \(24\). La division euclidienne donne \(286=24\times11+22\). Elle remplit \(11\) caisses et conserve \(22\) bouteilles hors des caisses.
Exemple 2 : partager une longueur
Un ruban de \(18,6\) m est partagé en \(6\) morceaux égaux. La longueur peut être découpée en dixièmes de mètre, donc on effectue une division décimale :
Exemple 3 : choisir le nombre de véhicules
Pour transporter \(95\) élèves dans des minibus de \(8\) places, \(95=8\times11+7\). Onze minibus transportent seulement \(88\) élèves ; il en faut donc \(12\).
Les techniques d’addition et de multiplication utiles aux contrôles sont reprises dans le cours sur les opérations avec les nombres décimaux en 6ème. Une présentation plus théorique de l’existence et de l’unicité du quotient et du reste est disponible dans le cours général sur la division euclidienne.
Ce qu’il faut retenir
La division euclidienne et la division décimale en 6ème partagent une même idée de partage ou de groupement, mais leurs réponses diffèrent. La division euclidienne fournit un quotient entier et un reste ; la division décimale fournit un quotient exact ou une valeur approchée.
- La division euclidienne vérifie \(a=bq+r\) avec \(0\le r<b\).
- Le contexte décide si le reste est conservé, ignoré ou impose un groupe supplémentaire.
- La division décimale poursuit le partage en dixièmes, centièmes ou millièmes.
- Une fraction peut conserver la valeur exacte lorsqu’une écriture décimale ne s’arrête pas.
- La multiplication inverse et l’ordre de grandeur contrôlent le quotient.
Les deux sens de la division, la division d’un décimal par un entier et la résolution de problèmes figurent dans le programme officiel de mathématiques du cycle 3.