Ces exercices corrigés sur les puissances couvrent l’ensemble du programme de la 4ème à la 2nde : définition et notation, exposants positifs, nuls et négatifs, règles du produit et du quotient de puissances de même base, puissance d’une puissance, puissance d’un produit ou d’un quotient, puissances de 10 et écriture scientifique. Chaque exercice est accompagné d’une indication pour guider la réflexion et d’un corrigé pas à pas rédigé en français clair. La progression va du calcul direct de base jusqu’aux expressions combinées rencontrées au brevet et en classe de seconde.
Définition et premiers calculs de puissances
Avant d’appliquer les propriétés, il est indispensable de maîtriser la définition de la notation puissance : comprendre ce que signifient la base et l’exposant, calculer des puissances entières positives et distinguer le cas particulier de l’exposant zéro. Les exercices de cette section constituent le socle de tout le chapitre.
Exercice 1 : Calculer des puissances entières positives
Facile
Calculer les expressions suivantes sans utiliser la calculatrice. Détailler la multiplication répétée pour chaque résultat.
- Calculer \( 3^4 \)
- Calculer \( (-2)^5 \)
- Calculer \( 5^3 \)
- Calculer \( (-1)^{2024} \)
Indication
La notation \( a^n \) signifie que l’on multiplie \( a \) par lui-même \( n \) fois. Pour les bases négatives, le signe du résultat dépend de la parité de l’exposant : un exposant pair donne un résultat positif, un exposant impair donne un résultat négatif.
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\[ 3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81 \]
Question 2 :
\[ (-2)^5 = (-2)\times(-2)\times(-2)\times(-2)\times(-2) = -32 \]
L’exposant 5 est impair, donc le résultat est négatif.
Question 3 :
\[ 5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125 \]
Question 4 :
\[ (-1)^{2024} \]
L’exposant 2024 est pair, donc \( (-1)^{2024} = +1 \).
Exercice 2 : L’exposant zéro et les cas particuliers
Facile
Donner la valeur de chacune des expressions suivantes. Justifier brièvement chaque réponse.
- \( 7^0 \)
- \( \left(\dfrac{3}{5}\right)^0 \)
- \( (-99)^0 \)
- \( 1^{500} \)
- \( 0^4 \)
Indication
Tout nombre non nul élevé à la puissance 0 vaut 1. Cela découle de la règle du quotient : \( a^n \div a^n = a^{n-n} = a^0 \), or \( a^n \div a^n = 1 \). Pour la base 1, \( 1^n = 1 \) quel que soit l’exposant. Pour la base 0 avec un exposant positif, réfléchir à la définition de la multiplication répétée.
Voir le corrigé
\[ 7^0 = 1 \]
Tout nombre non nul élevé à la puissance 0 est égal à 1.
Question 2 :
\[ \left(\frac{3}{5}\right)^0 = 1 \]
Même règle, la base est non nulle.
Question 3 :
\[ (-99)^0 = 1 \]
Question 4 :
\[ 1^{500} = 1 \]
1 multiplié par lui-même un nombre quelconque de fois reste 1.
Question 5 :
\[ 0^4 = 0 \times 0 \times 0 \times 0 = 0 \]
Exercice 3 : Écrire un produit répété sous forme de puissance
Facile
Écrire chacune des expressions ci-dessous sous la forme \( a^n \) où \( a \) et \( n \) sont des entiers.
- \( 7 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7 \)
- \( (-3) \times (-3) \times (-3) \)
- \( \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{4} \)
Indication
Compter le nombre de facteurs identiques : ce sera l’exposant. La base est le facteur répété. Pour la fraction, on peut aussi utiliser la règle \( \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \).
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\[ 7 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7 = 7^5 \]
Question 2 :
\[ (-3)\times(-3)\times(-3) = (-3)^3 = -27 \]
Question 3 :
\[ \frac{1}{4}\times\frac{1}{4}\times\frac{1}{4}\times\frac{1}{4} = \left(\frac{1}{4}\right)^4 = \frac{1}{256} \]
Puissances à exposant négatif : définition et calculs
Les exposants négatifs constituent l’une des principales sources de confusion pour les élèves. Un exposant négatif ne produit jamais un résultat négatif : il exprime l’inverse d’une puissance positive. Les exercices suivants permettent de consolider cette notion essentielle, indispensable pour la notation scientifique et pour les calculs en physique-chimie.
Exercice 4 : Calculer des puissances à exposant négatif
Facile
Calculer les expressions suivantes en écrivant le résultat sous forme de fraction puis sous forme décimale lorsque c’est possible.
- \( 2^{-3} \)
- \( 10^{-4} \)
- \( 5^{-2} \)
- \( (-3)^{-2} \)
Indication
Rappel de la définition : \( a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \) pour tout réel \( a \neq 0 \). Calculer d’abord \( a^n \) puis prendre son inverse.
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\[ 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0{,}125 \]
Question 2 :
\[ 10^{-4} = \frac{1}{10^4} = \frac{1}{10\,000} = 0{,}0001 \]
Question 3 :
\[ 5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} = 0{,}04 \]
Question 4 :
\[ (-3)^{-2} = \frac{1}{(-3)^2} = \frac{1}{9} \approx 0{,}111 \]
Attention : l’exposant est pair, donc \( (-3)^2 = 9 > 0 \). Le résultat est bien positif.
Exercice 5 : Comparer et ordonner des puissances à exposants de signe quelconque
Moyen
Classer dans l’ordre croissant les nombres suivants :
\[ 3^{-2}, \quad 3^0, \quad 3^{-1}, \quad 3^3, \quad 3^{-3} \]
Indication
Calculer la valeur décimale de chaque expression, puis les comparer. Se souvenir que pour une base \( a > 1 \), plus l’exposant est grand, plus la puissance est grande.
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\[ 3^{-3} = \frac{1}{27} \approx 0{,}037 \]
\[ 3^{-2} = \frac{1}{9} \approx 0{,}111 \]
\[ 3^{-1} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333 \]
\[ 3^0 = 1 \]
\[ 3^3 = 27 \]
Ordre croissant :
\[ 3^{-3} < 3^{-2} < 3^{-1} < 3^0 < 3^3 \]
Propriétés des puissances : produit, quotient et puissance d’une puissance
Les trois règles fondamentales — produit de puissances de même base, quotient de puissances de même base et puissance d’une puissance — sont le cœur du chapitre. Les exercices ci-dessous entraînent à les reconnaître, à les appliquer sans erreur et à les combiner dans des expressions plus élaborées.
Exercice 6 : Appliquer la règle du produit de puissances de même base
Facile
Écrire chaque expression sous la forme d’une seule puissance, puis calculer le résultat numérique lorsque la base est un entier.
- \( 5^3 \times 5^4 \)
- \( 2^7 \times 2^{-3} \)
- \( (-4)^2 \times (-4)^5 \)
- \( a^3 \times a^{-1} \times a^4 \) (où \( a \neq 0 \))
Indication
Rappel : \( a^m \times a^n = a^{m+n} \). Les bases doivent être identiques. On additionne les exposants, on ne les multiplie pas. Vérifier la règle pour trois facteurs : on additionne les trois exposants.
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\[ 5^3 \times 5^4 = 5^{3+4} = 5^7 = 78\,125 \]
Question 2 :
\[ 2^7 \times 2^{-3} = 2^{7+(-3)} = 2^4 = 16 \]
Question 3 :
\[ (-4)^2 \times (-4)^5 = (-4)^{2+5} = (-4)^7 = -16\,384 \]
Question 4 :
\[ a^3 \times a^{-1} \times a^4 = a^{3+(-1)+4} = a^6 \]
Exercice 7 : Appliquer la règle du quotient de puissances de même base
Facile
Simplifier chaque expression en une seule puissance.
- \( \dfrac{6^9}{6^4} \)
- \( \dfrac{3^2}{3^7} \)
- \( \dfrac{(-5)^8}{(-5)^3} \)
- \( \dfrac{x^{-2}}{x^5} \) (où \( x \neq 0 \))
Indication
Rappel : \( \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \). On soustrait l’exposant du dénominateur à celui du numérateur. Si le résultat est négatif, l’expression prend la forme d’une puissance à exposant négatif.
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\[ \frac{6^9}{6^4} = 6^{9-4} = 6^5 = 7\,776 \]
Question 2 :
\[ \frac{3^2}{3^7} = 3^{2-7} = 3^{-5} = \frac{1}{3^5} = \frac{1}{243} \]
Question 3 :
\[ \frac{(-5)^8}{(-5)^3} = (-5)^{8-3} = (-5)^5 = -3\,125 \]
Question 4 :
\[ \frac{x^{-2}}{x^5} = x^{-2-5} = x^{-7} \]
Exercice 8 : Appliquer la règle de la puissance d’une puissance
Facile
Écrire chaque expression sous la forme d’une seule puissance.
- \( \left(2^3\right)^4 \)
- \( \left(7^{-2}\right)^3 \)
- \( \left((-3)^4\right)^2 \)
- \( \left(a^5\right)^{-2} \) (où \( a \neq 0 \))
Indication
Rappel : \( \left(a^m\right)^n = a^{m \times n} \). On multiplie les exposants. Ne pas confondre avec le produit \( a^m \times a^n \) où l’on additionne les exposants.
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\[ \left(2^3\right)^4 = 2^{3 \times 4} = 2^{12} = 4\,096 \]
Question 2 :
\[ \left(7^{-2}\right)^3 = 7^{(-2)\times 3} = 7^{-6} = \frac{1}{7^6} = \frac{1}{117\,649} \]
Question 3 :
\[ \left((-3)^4\right)^2 = (-3)^{4 \times 2} = (-3)^8 = 3^8 = 6\,561 \]
Question 4 :
\[ \left(a^5\right)^{-2} = a^{5\times(-2)} = a^{-10} \]
Exercice 9 : Combiner les trois règles dans des expressions mixtes
Moyen
Simplifier chaque expression en une seule puissance. Montrer les étapes intermédiaires.
- \( \dfrac{3^5 \times 3^{-2}}{3^4} \)
- \( \left(2^4\right)^3 \times 2^{-8} \)
- \( \dfrac{\left((-5)^3\right)^2}{(-5)^4 \times (-5)^{-1}} \)
Indication
Traiter d’abord les puissances de puissances (multiplier les exposants), puis regrouper les produits (additionner les exposants de même base), et enfin effectuer les divisions (soustraire les exposants). Respecter cet ordre évite les erreurs.
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\[ \frac{3^5 \times 3^{-2}}{3^4} = \frac{3^{5+(-2)}}{3^4} = \frac{3^3}{3^4} = 3^{3-4} = 3^{-1} = \frac{1}{3} \]
Question 2 :
\[ \left(2^4\right)^3 \times 2^{-8} = 2^{4\times 3} \times 2^{-8} = 2^{12} \times 2^{-8} = 2^{12+(-8)} = 2^4 = 16 \]
Question 3 :
\[ \frac{\left((-5)^3\right)^2}{(-5)^4 \times (-5)^{-1}} = \frac{(-5)^6}{(-5)^{4+(-1)}} = \frac{(-5)^6}{(-5)^3} = (-5)^{6-3} = (-5)^3 = -125 \]
Exercice 10 : Puissance d’un produit et d’un quotient
Moyen
Développer ou factoriser chaque expression en utilisant les règles \( (ab)^n = a^n b^n \) et \( \left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n} \).
- Développer \( (2 \times 7)^3 \)
- Développer \( \left(\dfrac{3}{4}\right)^4 \)
- Factoriser \( 5^6 \times 11^6 \) sous la forme \( (\ldots)^6 \)
- Simplifier \( \dfrac{6^5}{2^5} \)
Indication
Ces règles s’appliquent uniquement quand les exposants sont identiques et les bases différentes. Attention : \( 2^3 \times 7^5 \) ne peut pas être simplifié car les exposants diffèrent.
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\[ (2 \times 7)^3 = 2^3 \times 7^3 = 8 \times 343 = 2\,744 \]
Question 2 :
\[ \left(\frac{3}{4}\right)^4 = \frac{3^4}{4^4} = \frac{81}{256} \]
Question 3 :
\[ 5^6 \times 11^6 = (5 \times 11)^6 = 55^6 \]
Question 4 :
\[ \frac{6^5}{2^5} = \left(\frac{6}{2}\right)^5 = 3^5 = 243 \]
Puissances de 10 : opérations et écriture décimale
Les puissances de 10 occupent une place centrale dans ce chapitre car elles sous-tendent toute la notation scientifique utilisée en physique, chimie et sciences de la vie. Cette section entraîne les élèves à convertir des nombres décimaux en puissances de 10, à effectuer des opérations et à comparer des ordres de grandeur.
Exercice 11 : Exprimer un nombre décimal comme puissance de 10
Facile
Écrire chacun des nombres suivants sous la forme \( 10^n \) où \( n \) est un entier relatif.
- \( 1\,000\,000 \)
- \( 0{,}001 \)
- \( 100\,000\,000 \)
- \( 0{,}000\,01 \)
Indication
Pour un nombre entier de la forme \( 1\underbrace{00\ldots0}_{n} \), l’exposant est égal au nombre de zéros. Pour un nombre décimal \( 0{,}\underbrace{00\ldots0}_{p-1}1 \), l’exposant est \( -p \).
Voir le corrigé
\[ 1\,000\,000 = 10^6 \quad \text{(6 zéros)} \]
Question 2 :
\[ 0{,}001 = \frac{1}{1\,000} = \frac{1}{10^3} = 10^{-3} \]
Question 3 :
\[ 100\,000\,000 = 10^8 \quad \text{(8 zéros)} \]
Question 4 :
\[ 0{,}000\,01 = \frac{1}{100\,000} = \frac{1}{10^5} = 10^{-5} \]
Exercice 12 : Opérations sur les puissances de 10
Facile
Calculer les expressions suivantes et donner le résultat sous forme d’une seule puissance de 10, puis sous forme décimale.
- \( 10^3 \times 10^{-2} \times 10^4 \)
- \( \dfrac{10^7}{10^{-2}} \)
- \( \left(10^3\right)^2 \times 10^{-1} \)
Indication
Appliquer les mêmes règles que pour toute autre base. Pour le quotient, attention au signe : \( \dfrac{10^7}{10^{-2}} = 10^{7-(-2)} = 10^{7+2} \).
Voir le corrigé
\[ 10^3 \times 10^{-2} \times 10^4 = 10^{3+(-2)+4} = 10^5 = 100\,000 \]
Question 2 :
\[ \frac{10^7}{10^{-2}} = 10^{7-(-2)} = 10^{9} = 1\,000\,000\,000 \]
Attention : soustraire un exposant négatif revient à l’additionner.
Question 3 :
\[ \left(10^3\right)^2 \times 10^{-1} = 10^{6} \times 10^{-1} = 10^{6+(-1)} = 10^5 = 100\,000 \]
Exercice 13 : Pièges classiques sur les puissances de 10
Moyen
Identifier et corriger l’erreur dans chacun des calculs suivants, puis donner le bon résultat.
- Un élève écrit : \( 10^3 \times 10^4 = 10^{12} \). Quel est son erreur et quel est le bon résultat ?
- Un élève écrit : \( 10^{-3} = -1\,000 \). Quel est son erreur et quel est le bon résultat ?
- Un élève écrit : \( (10^2)^3 = 10^5 \). Quel est son erreur et quel est le bon résultat ?
Indication
Revoir la différence entre les trois règles : produit \( \rightarrow \) addition des exposants ; puissance d’une puissance \( \rightarrow \) multiplication des exposants. Un exposant négatif ne produit jamais un nombre négatif.
Voir le corrigé
L’élève a multiplié les exposants au lieu de les additionner. La règle du produit est \( a^m \times a^n = a^{m+n} \).
\[ 10^3 \times 10^4 = 10^{3+4} = 10^7 = 10\,000\,000 \]
Question 2 :
L’élève a confondu exposant négatif et nombre négatif. Un exposant négatif donne l’inverse, pas l’opposé.
\[ 10^{-3} = \frac{1}{10^3} = \frac{1}{1\,000} = 0{,}001 \]
Question 3 :
L’élève a additionné les exposants au lieu de les multiplier. La règle est \( (a^m)^n = a^{m \times n} \).
\[ (10^2)^3 = 10^{2 \times 3} = 10^6 = 1\,000\,000 \]
Écriture scientifique : conversion et calculs
L’écriture scientifique est la forme \( a \times 10^n \) où \( 1 \leq a < 10 \) et \( n \) est un entier relatif. Elle est utilisée dans toutes les disciplines scientifiques pour exprimer des grandeurs très grandes ou très petites de manière lisible et comparable. Ces exercices couvrent la conversion, les quatre opérations et la comparaison en écriture scientifique.
Exercice 14 : Convertir des nombres en écriture scientifique
Facile
Écrire chacun des nombres suivants en notation scientifique.
- \( 47\,500 \)
- \( 0{,}000\,362 \)
- \( 6\,200\,000\,000 \)
- \( 0{,}0047 \)
Indication
Déplacer la virgule jusqu’à obtenir un nombre entre 1 inclus et 10 exclu. Compter le nombre de déplacements : c’est la valeur absolue de l’exposant. Si la virgule se déplace vers la gauche (grand nombre), l’exposant est positif ; si elle se déplace vers la droite (petit nombre), l’exposant est négatif.
Voir le corrigé
\[ 47\,500 = 4{,}75 \times 10^4 \]
La virgule se déplace de 4 rangs vers la gauche.
Question 2 :
\[ 0{,}000\,362 = 3{,}62 \times 10^{-4} \]
La virgule se déplace de 4 rangs vers la droite.
Question 3 :
\[ 6\,200\,000\,000 = 6{,}2 \times 10^9 \]
Question 4 :
\[ 0{,}0047 = 4{,}7 \times 10^{-3} \]
Exercice 15 : Multiplier et diviser des nombres en écriture scientifique
Moyen
Calculer les expressions suivantes et donner le résultat en écriture scientifique.
- \( (3{,}2 \times 10^5) \times (2{,}5 \times 10^3) \)
- \( \dfrac{8{,}4 \times 10^7}{2{,}1 \times 10^{-3}} \)
- \( (5 \times 10^{-4})^2 \)
Indication
Pour multiplier : multiplier les mantisses entre elles et additionner les exposants. Si la mantisse résultante est supérieure ou égale à 10, ajuster en déplaçant la virgule et en augmentant l’exposant de 1. Pour diviser : diviser les mantisses et soustraire les exposants.
Voir le corrigé
\[ (3{,}2 \times 10^5) \times (2{,}5 \times 10^3) = (3{,}2 \times 2{,}5) \times 10^{5+3} = 8 \times 10^8 \]
Question 2 :
\[ \frac{8{,}4 \times 10^7}{2{,}1 \times 10^{-3}} = \frac{8{,}4}{2{,}1} \times 10^{7-(-3)} = 4 \times 10^{10} \]
Question 3 :
\[ (5 \times 10^{-4})^2 = 5^2 \times \left(10^{-4}\right)^2 = 25 \times 10^{-8} \]
Ajustement : \( 25 = 2{,}5 \times 10^1 \), donc
\[ 25 \times 10^{-8} = 2{,}5 \times 10^{1+(-8)} = 2{,}5 \times 10^{-7} \]
Exercice 16 : Additionner des nombres en écriture scientifique
Moyen
Calculer les expressions suivantes et donner le résultat en écriture scientifique. Attention : il n’existe pas de formule directe pour l’addition de puissances, il faut ramener les termes à la même puissance de 10.
- \( 3{,}5 \times 10^6 + 2{,}4 \times 10^5 \)
- \( 7{,}2 \times 10^{-3} – 9 \times 10^{-4} \)
Indication
Réécrire l’un des deux termes afin que les deux partagent la même puissance de 10, puis factoriser. Par exemple : \( 2{,}4 \times 10^5 = 0{,}24 \times 10^6 \).
Voir le corrigé
\[ 3{,}5 \times 10^6 + 2{,}4 \times 10^5 = 3{,}5 \times 10^6 + 0{,}24 \times 10^6 \]
\[ = (3{,}5 + 0{,}24) \times 10^6 = 3{,}74 \times 10^6 \]
Question 2 :
\[ 7{,}2 \times 10^{-3} – 9 \times 10^{-4} = 7{,}2 \times 10^{-3} – 0{,}9 \times 10^{-3} \]
\[ = (7{,}2 – 0{,}9) \times 10^{-3} = 6{,}3 \times 10^{-3} \]
Simplification d’expressions algébriques avec des puissances
À partir du niveau seconde, les élèves sont amenés à simplifier des expressions littérales mêlant plusieurs bases, des fractions et des racines. Cette section développe la capacité à reconnaître les règles applicables et à les enchaîner méthodiquement pour produire une expression irréductible.
Exercice 17 : Simplifier des fractions algébriques à exposants
Moyen
Simplifier les expressions suivantes (où toutes les variables sont strictement positives).
- \( \dfrac{x^5 \cdot y^3}{x^2 \cdot y^7} \)
- \( \dfrac{a^{-3} \cdot b^4}{a^2 \cdot b^{-1}} \)
- \( \dfrac{\left(m^2\right)^4 \cdot m^{-3}}{m^5} \)
Indication
Traiter chaque base séparément. Pour chaque base, appliquer la règle du quotient en soustrayant l’exposant du dénominateur à celui du numérateur. Résoudre d’abord les puissances de puissances.
Voir le corrigé
\[ \frac{x^5 \cdot y^3}{x^2 \cdot y^7} = x^{5-2} \cdot y^{3-7} = x^3 \cdot y^{-4} = \frac{x^3}{y^4} \]
Question 2 :
\[ \frac{a^{-3} \cdot b^4}{a^2 \cdot b^{-1}} = a^{-3-2} \cdot b^{4-(-1)} = a^{-5} \cdot b^5 = \frac{b^5}{a^5} = \left(\frac{b}{a}\right)^5 \]
Question 3 :
\[ \frac{\left(m^2\right)^4 \cdot m^{-3}}{m^5} = \frac{m^8 \cdot m^{-3}}{m^5} = \frac{m^{8+(-3)}}{m^5} = \frac{m^5}{m^5} = m^0 = 1 \]
Exercice 18 : Expressions mêlant plusieurs bases et exposants
Difficile
Simplifier les expressions suivantes en une seule puissance ou en un nombre rationnel (toutes variables strictement positives).
- \( \dfrac{4^5 \times 9^5}{6^{10}} \)
- \( \dfrac{2^8 \times 3^4}{12^4} \)
- \( \dfrac{\left(6 x^2 y\right)^3}{9 x^4 y^{-1}} \)
Indication
Chercher à décomposer les bases en facteurs premiers communs. Par exemple, \( 6 = 2 \times 3 \) et \( 12 = 4 \times 3 = 2^2 \times 3 \). Pour le troisième calcul, développer d’abord le numérateur avec la règle \( (abc)^n = a^n b^n c^n \).
Voir le corrigé
\[ \frac{4^5 \times 9^5}{6^{10}} = \frac{(4 \times 9)^5}{6^{10}} = \frac{36^5}{6^{10}} = \frac{\left(6^2\right)^5}{6^{10}} = \frac{6^{10}}{6^{10}} = 1 \]
Question 2 :
\[ \frac{2^8 \times 3^4}{12^4} = \frac{2^8 \times 3^4}{(2^2 \times 3)^4} = \frac{2^8 \times 3^4}{2^8 \times 3^4} = 1 \]
Question 3 :
\[ \frac{(6x^2 y)^3}{9x^4 y^{-1}} = \frac{6^3 \cdot x^6 \cdot y^3}{9 x^4 y^{-1}} = \frac{216\, x^6 y^3}{9 x^4 y^{-1}} \]
\[ = 24 \cdot x^{6-4} \cdot y^{3-(-1)} = 24\, x^2 y^4 \]
Exercices de synthèse et problèmes appliqués
Les exercices de synthèse permettent de mobiliser simultanément toutes les propriétés des puissances dans des contextes variés : calcul numérique complexe, problème contextuel (sciences, démographie, informatique) et démonstration algébrique. Ils correspondent au niveau attendu lors du brevet des collèges et des évaluations de classe de seconde.
Exercice 19 : Calcul numérique combinant toutes les propriétés
Difficile
Calculer les expressions suivantes sans calculatrice. Présenter chaque étape.
- \( A = \dfrac{2^{10} \times 5^{10}}{(2 \times 5)^8} \)
- \( B = \dfrac{3^6 – 3^5}{3^4} \)
- \( C = \left(\dfrac{2^3 \times 4}{8}\right)^4 \)
Indication
Pour \( A \) : regrouper les bases en utilisant \( (ab)^n = a^n b^n \). Pour \( B \) : factoriser le numérateur avant de simplifier — il n’existe pas de règle directe pour la différence de puissances. Pour \( C \) : simplifier d’abord l’intérieur de la parenthèse en notant que \( 4 = 2^2 \) et \( 8 = 2^3 \).
Voir le corrigé
\[ A = \frac{2^{10} \times 5^{10}}{(2 \times 5)^8} = \frac{(2 \times 5)^{10}}{(10)^8} = \frac{10^{10}}{10^8} = 10^2 = 100 \]
Calcul de B :
\[ B = \frac{3^6 – 3^5}{3^4} \]
Factoriser le numérateur : \( 3^6 – 3^5 = 3^5(3^1 – 1) = 3^5 \times 2 \)
\[ B = \frac{3^5 \times 2}{3^4} = 2 \times 3^{5-4} = 2 \times 3 = 6 \]
Calcul de C :
\[ 4 = 2^2 \quad \text{et} \quad 8 = 2^3 \]
\[ \frac{2^3 \times 4}{8} = \frac{2^3 \times 2^2}{2^3} = \frac{2^5}{2^3} = 2^2 = 4 \]
\[ C = 4^4 = \left(2^2\right)^4 = 2^8 = 256 \]
Exercice 20 : Problème contextuel — vitesse de la lumière et distances astronomiques
Difficile
La vitesse de la lumière dans le vide est \( c \approx 3 \times 10^8 \) m/s. Une année compte environ \( 3{,}15 \times 10^7 \) secondes. La distance de la Terre à l’étoile Proxima Centauri est d’environ \( 4{,}01 \times 10^{16} \) mètres.
- Calculer la longueur d’une année-lumière (distance parcourue par la lumière en une année) en mètres. Donner le résultat en écriture scientifique.
- Calculer la distance Terre–Proxima Centauri en années-lumière. Arrondir la mantisse au centième.
- Comparer cet ordre de grandeur à la distance Terre–Soleil qui est d’environ \( 1{,}5 \times 10^{11} \) m. Combien de fois la distance Terre–Proxima Centauri est-elle plus grande que la distance Terre–Soleil ?
Indication
Question 1 : distance = vitesse × temps. Question 2 : diviser la distance en mètres par la valeur d’une année-lumière en mètres. Question 3 : former le quotient des deux distances ; travailler en écriture scientifique et ajuster la mantisse si nécessaire.
Voir le corrigé
\[ d_{AL} = c \times t = (3 \times 10^8) \times (3{,}15 \times 10^7) \]
\[ = (3 \times 3{,}15) \times 10^{8+7} = 9{,}45 \times 10^{15} \text{ m} \]
Question 2 — Distance en années-lumière :
\[ d = \frac{4{,}01 \times 10^{16}}{9{,}45 \times 10^{15}} = \frac{4{,}01}{9{,}45} \times 10^{16-15} = 0{,}4243\ldots \times 10^1 \approx 4{,}24 \text{ années-lumière} \]
Proxima Centauri se trouve donc à environ \( 4{,}24 \) années-lumière de la Terre.
Question 3 — Rapport des distances :
\[ \frac{4{,}01 \times 10^{16}}{1{,}5 \times 10^{11}} = \frac{4{,}01}{1{,}5} \times 10^{16-11} \approx 2{,}67 \times 10^5 \]
La distance Terre–Proxima Centauri est environ \( 267\,000 \) fois supérieure à la distance Terre–Soleil.
Exercice 21 : Démonstration algébrique et preuve par les puissances
Difficile
Répondre aux questions suivantes en justifiant rigoureusement chaque étape.
- Montrer que pour tout entier \( n \geq 1 \), on a \( 4^n = 2^{2n} \).
- En déduire la valeur de \( \dfrac{4^{n+1}}{2^{2n-1}} \), exprimée sous la forme la plus simple possible.
- Montrer que \( 9^n – 9^{n-1} = 8 \times 9^{n-1} \) pour tout entier \( n \geq 1 \).
Indication
Question 1 : écrire \( 4 = 2^2 \) et utiliser la règle de la puissance d’une puissance. Question 2 : substituer le résultat de la question 1 dans l’expression, puis appliquer la règle du quotient. Question 3 : factoriser \( 9^n – 9^{n-1} \) par \( 9^{n-1} \).
Voir le corrigé
\( 4 = 2^2 \), donc par la règle de la puissance d’une puissance :
\[ 4^n = \left(2^2\right)^n = 2^{2n} \quad \checkmark \]
Question 2 :
D’après la question 1, \( 4^{n+1} = 2^{2(n+1)} = 2^{2n+2} \). Donc :
\[ \frac{4^{n+1}}{2^{2n-1}} = \frac{2^{2n+2}}{2^{2n-1}} = 2^{(2n+2)-(2n-1)} = 2^3 = 8 \]
Le résultat est la constante \( 8 \), indépendante de \( n \).
Question 3 :
\[ 9^n – 9^{n-1} = 9^{n-1} \times 9^1 – 9^{n-1} \times 1 = 9^{n-1}\left(9 – 1\right) = 8 \times 9^{n-1} \quad \checkmark \]
| Propriété | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Produit — même base | \( a^m \times a^n = a^{m+n} \) | \( 3^4 \times 3^2 = 3^6 \) |
| Quotient — même base | \( \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \) | \( \dfrac{5^7}{5^3} = 5^4 \) |
| Puissance d’une puissance | \( \left(a^m\right)^n = a^{m \times n} \) | \( \left(2^3\right)^4 = 2^{12} \) |
| Puissance d’un produit | \( (ab)^n = a^n b^n \) | \( (3 \times 5)^2 = 9 \times 25 \) |
| Puissance d’un quotient | \( \left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n} \) | \( \left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = \dfrac{8}{27} \) |
| Exposant nul | \( a^0 = 1 \) (si \( a \neq 0 \)) | \( 7^0 = 1 \) |
| Exposant négatif | \( a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \) (si \( a \neq 0 \)) | \( 2^{-3} = \dfrac{1}{8} \) |