Le calcul d’intégrales est l’une des compétences fondamentales des mathématiques de Terminale et du supérieur. Maîtriser le calcul d’une intégrale définie suppose de savoir déterminer une primitive d’une fonction, d’appliquer les propriétés de linéarité et de relation de Chasles, puis de mettre en œuvre des techniques plus avancées telles que l’intégration par parties ou le changement de variable. Cette page propose une progression pédagogique complète — du calcul direct de primitives usuelles jusqu’aux suites d’intégrales et au calcul d’aires — avec, pour chaque exercice, une indication guidée et un corrigé détaillé pas à pas.
Primitives usuelles et calcul direct d’intégrales
Exercice 1 : Intégrales de polynômes
Facile
On considère les fonctions polynomiales suivantes, définies sur \(\mathbb{R}\).
- Calculer \(\displaystyle I = \int_{0}^{2} (3x^2 – 4x + 1)\, dx\).
- Calculer \(\displaystyle J = \int_{-1}^{3} (x^3 – 2x)\, dx\).
Indication
Pour chaque terme de la forme \(x^n\), la primitive est \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\). Calculer la primitive de l’expression entière, puis appliquer la règle de Barrow : \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) – F(a)\).
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Une primitive de \(3x^2 – 4x + 1\) est \(F(x) = x^3 – 2x^2 + x\).
\[
I = \left[x^3 – 2x^2 + x\right]_0^2 = \bigl(8 – 8 + 2\bigr) – \bigl(0\bigr) = 2
\]
Solution de la question 2 :
Une primitive de \(x^3 – 2x\) est \(G(x) = \dfrac{x^4}{4} – x^2\).
\[
J = \left[\frac{x^4}{4} – x^2\right]_{-1}^{3}
= \left(\frac{81}{4} – 9\right) – \left(\frac{1}{4} – 1\right)
= \frac{81}{4} – 9 – \frac{1}{4} + 1
= \frac{80}{4} – 8 = 20 – 8 = 12
\]
Exercice 2 : Primitives de fonctions exponentielles et trigonométriques
Facile
Calculer les intégrales suivantes en utilisant le tableau des primitives usuelles.
- \(\displaystyle I = \int_{0}^{1} (2e^x + 3\cos x)\, dx\)
- \(\displaystyle J = \int_{0}^{\pi} \sin(2x)\, dx\)
Indication
Rappeler que la primitive de \(e^x\) est \(e^x\), celle de \(\cos x\) est \(\sin x\), et celle de \(\sin(ax)\) est \(-\dfrac{1}{a}\cos(ax)\). Utiliser la linéarité de l’intégrale pour traiter chaque terme séparément.
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Par linéarité, une primitive de \(2e^x + 3\cos x\) est \(F(x) = 2e^x + 3\sin x\).
\[
I = \left[2e^x + 3\sin x\right]_0^1 = \bigl(2e + 3\sin 1\bigr) – \bigl(2 + 0\bigr) = 2e + 3\sin 1 – 2
\]
Solution de la question 2 :
Une primitive de \(\sin(2x)\) est \(-\dfrac{1}{2}\cos(2x)\).
\[
J = \left[-\frac{1}{2}\cos(2x)\right]_0^{\pi}
= -\frac{1}{2}\cos(2\pi) + \frac{1}{2}\cos(0)
= -\frac{1}{2}(1) + \frac{1}{2}(1) = 0
\]
Ce résultat est cohérent : la fonction \(\sin(2x)\) est symétrique sur \([0,\pi]\) et les aires s’annulent.
Exercice 3 : Reconnaissance de forme (dérivée d’une composée)
Moyen
Pour chacune des intégrales suivantes, reconnaître la structure \(\dfrac{u’}{u}\) ou \(u’ \cdot f(u)\) afin d’obtenir directement une primitive.
- \(\displaystyle I = \int_{1}^{e} \frac{2x}{x^2 + 1}\, dx\)
- \(\displaystyle J = \int_{0}^{1} x\, e^{x^2}\, dx\)
- \(\displaystyle K = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x)\,\sqrt{\sin x}\, dx\)
Indication
Pour la question 1, identifier \(u = x^2+1\) et \(u’ = 2x\) : l’intégrale est de la forme \(\displaystyle\int \frac{u’}{u}\,dx = \ln|u| + C\). Pour la question 2, poser mentalement \(u = x^2\) et constater que \(u’ = 2x\), ce qui impose un facteur \(\frac{1}{2}\). Pour la question 3, identifier \(u = \sin x\) et \(u’ = \cos x\).
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On reconnaît \(\dfrac{u’}{u}\) avec \(u = x^2+1\), donc une primitive est \(\ln(x^2+1)\).
\[
I = \left[\ln(x^2+1)\right]_1^e = \ln(e^2+1) – \ln 2
\]
Solution de la question 2 :
On écrit \(x\,e^{x^2} = \dfrac{1}{2}(2x)\,e^{x^2}\). Une primitive est \(\dfrac{1}{2}e^{x^2}\).
\[
J = \left[\frac{1}{2}e^{x^2}\right]_0^1 = \frac{1}{2}e^1 – \frac{1}{2}e^0 = \frac{e-1}{2}
\]
Solution de la question 3 :
On reconnaît \(u’ \cdot u^{1/2}\) avec \(u = \sin x\). Une primitive est \(\dfrac{2}{3}(\sin x)^{3/2}\).
\[
K = \left[\frac{2}{3}(\sin x)^{3/2}\right]_0^{\pi/2} = \frac{2}{3}(1)^{3/2} – \frac{2}{3}(0)^{3/2} = \frac{2}{3}
\]
Propriétés de l’intégrale : linéarité, Chasles et encadrement
Exercice 4 : Relation de Chasles et décomposition d’intervalle
Facile
Soit \(f\) la fonction définie sur \([-3, 4]\) telle que :
\[
f(x) = \begin{cases} 2x + 6 & \text{si } x \in [-3, 0] \\ 3 – x & \text{si } x \in [0, 4] \end{cases}
\]
- Vérifier que \(f\) est continue en \(0\).
- Calculer \(\displaystyle\int_{-3}^{4} f(x)\, dx\) en utilisant la relation de Chasles.
Indication
La relation de Chasles indique que \(\displaystyle\int_{-3}^{4} f(x)\,dx = \int_{-3}^{0} f(x)\,dx + \int_{0}^{4} f(x)\,dx\). Calculer chaque intégrale séparément en utilisant la définition de \(f\) sur chaque sous-intervalle.
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On vérifie : \(\lim_{x \to 0^-}(2x+6) = 6\) et \(f(0) = 3 – 0 = 3\). Comme \(6 \neq 3\), la fonction n’est pas continue en \(0\). (Elle est cependant intégrable sur \([-3,4]\) car elle est bornée et n’a qu’un seul point de discontinuité.)
Solution de la question 2 :
\[
\int_{-3}^{0}(2x+6)\,dx = \left[x^2 + 6x\right]_{-3}^{0} = 0 – (9 – 18) = 9
\]
\[
\int_{0}^{4}(3-x)\,dx = \left[3x – \frac{x^2}{2}\right]_{0}^{4} = \left(12 – 8\right) – 0 = 4
\]
\[
\int_{-3}^{4} f(x)\,dx = 9 + 4 = 13
\]
Exercice 5 : Encadrement d’une intégrale
Moyen
On considère la fonction \(f(x) = e^{-x^2}\) sur l’intervalle \([0, 1]\).
- Montrer que pour tout \(x \in [0,1]\), on a \(e^{-1} \leq e^{-x^2} \leq 1\).
- En déduire un encadrement de \(\displaystyle I = \int_{0}^{1} e^{-x^2}\, dx\).
Indication
Pour la question 1, étudier les variations de \(x \mapsto -x^2\) sur \([0,1]\) afin d’encadrer l’exposant, puis conclure sur \(e^{-x^2}\) en utilisant la monotonie de l’exponentielle. Pour la question 2, intégrer l’encadrement sur \([0,1]\).
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Pour \(x \in [0,1]\), on a \(0 \leq x^2 \leq 1\), donc \(-1 \leq -x^2 \leq 0\). Comme l’exponentielle est strictement croissante :
\[
e^{-1} \leq e^{-x^2} \leq e^{0} = 1
\]
Solution de la question 2 :
En intégrant l’encadrement sur \([0,1]\) (intervalle de longueur 1) :
\[
\int_{0}^{1} e^{-1}\, dx \leq \int_{0}^{1} e^{-x^2}\, dx \leq \int_{0}^{1} 1\, dx
\]
\[
\boxed{\frac{1}{e} \leq I \leq 1}
\]
La valeur exacte de \(I\) n’est pas calculable à l’aide des primitives élémentaires — cet encadrement est donc particulièrement utile.
Intégration par parties
Exercice 6 : Première intégration par parties
Facile
Calculer les intégrales suivantes à l’aide d’une intégration par parties.
- \(\displaystyle I = \int_{0}^{1} x\,e^x\, dx\)
- \(\displaystyle J = \int_{1}^{e} \ln x\, dx\)
Indication
Rappel de la formule : \(\displaystyle\int_a^b u\,v’\,dx = \bigl[u\,v\bigr]_a^b – \int_a^b u’\,v\,dx\). Pour la question 1, poser \(u = x\) et \(v’ = e^x\). Pour la question 2, poser \(u = \ln x\) et \(v’ = 1\) (astuce classique pour intégrer le logarithme).
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On pose \(u = x\), \(v’ = e^x\), d’où \(u’ = 1\) et \(v = e^x\).
\[
I = \left[x\,e^x\right]_0^1 – \int_0^1 e^x\, dx
= \bigl(e – 0\bigr) – \left[e^x\right]_0^1
= e – (e – 1) = 1
\]
Solution de la question 2 :
On pose \(u = \ln x\), \(v’ = 1\), d’où \(u’ = \dfrac{1}{x}\) et \(v = x\).
\[
J = \left[x\ln x\right]_1^e – \int_1^e \frac{x}{x}\, dx
= \bigl(e\cdot 1 – 1\cdot 0\bigr) – \left[x\right]_1^e
= e – (e – 1) = 1
\]
Exercice 7 : Double intégration par parties
Moyen
Calculer les intégrales suivantes, qui nécessitent deux intégrations par parties successives.
- \(\displaystyle I = \int_{0}^{\pi} x^2 \cos x\, dx\)
- \(\displaystyle J = \int_{1}^{e} x^2 \ln x\, dx\)
Indication
Pour la question 1, effectuer une première IPP avec \(u = x^2\) et \(v’ = \cos x\). L’intégrale résultante fera apparaître \(x \sin x\), qui nécessite une seconde IPP. Pour la question 2, poser \(u = \ln x\) et \(v’ = x^2\) à la première étape.
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Première IPP : \(u = x^2\), \(v’ = \cos x\), donc \(u’ = 2x\), \(v = \sin x\).
\[
I = \left[x^2 \sin x\right]_0^{\pi} – \int_0^{\pi} 2x \sin x\, dx = 0 – 2\int_0^{\pi} x \sin x\, dx
\]
Seconde IPP : \(u = x\), \(v’ = \sin x\), donc \(u’ = 1\), \(v = -\cos x\).
\[
\int_0^{\pi} x \sin x\, dx = \left[-x\cos x\right]_0^{\pi} + \int_0^{\pi} \cos x\, dx
= \pi + \left[\sin x\right]_0^{\pi} = \pi + 0 = \pi
\]
\[
I = -2\pi
\]
Solution de la question 2 :
IPP : \(u = \ln x\), \(v’ = x^2\), donc \(u’ = \dfrac{1}{x}\), \(v = \dfrac{x^3}{3}\).
\[
J = \left[\frac{x^3}{3}\ln x\right]_1^e – \int_1^e \frac{x^3}{3}\cdot\frac{1}{x}\, dx
= \frac{e^3}{3} – 0 – \frac{1}{3}\int_1^e x^2\, dx
= \frac{e^3}{3} – \frac{1}{3}\left[\frac{x^3}{3}\right]_1^e
\]
\[
= \frac{e^3}{3} – \frac{1}{3}\cdot\frac{e^3 – 1}{3}
= \frac{e^3}{3} – \frac{e^3 – 1}{9}
= \frac{3e^3 – e^3 + 1}{9} = \frac{2e^3 + 1}{9}
\]
Exercice 8 : Intégration par parties avec retour à l’intégrale initiale
Difficile
Calculer \(\displaystyle I = \int_{0}^{\pi/2} e^x \cos x\, dx\).
- Effectuer une première intégration par parties en posant \(u = e^x\) et \(v’ = \cos x\).
- Effectuer une seconde intégration par parties sur l’intégrale obtenue.
- Exprimer \(I\) en fonction de lui-même et en déduire sa valeur.
Indication
Après deux intégrations par parties, l’intégrale \(I\) réapparaît dans le membre de droite. Il suffit alors de résoudre l’équation en \(I\) ainsi obtenue. Cette méthode est classique pour les produits de la forme \(e^{ax}\cos(bx)\) ou \(e^{ax}\sin(bx)\).
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\(u = e^x\), \(v’ = \cos x\), d’où \(u’ = e^x\), \(v = \sin x\).
\[
I = \left[e^x \sin x\right]_0^{\pi/2} – \int_0^{\pi/2} e^x \sin x\, dx
= e^{\pi/2} – \int_0^{\pi/2} e^x \sin x\, dx
\]
Solution de la question 2 :
On pose \(u = e^x\), \(v’ = \sin x\), d’où \(u’ = e^x\), \(v = -\cos x\).
\[
\int_0^{\pi/2} e^x \sin x\, dx = \left[-e^x \cos x\right]_0^{\pi/2} + \int_0^{\pi/2} e^x \cos x\, dx
= \bigl(0 + 1\bigr) + I = 1 + I
\]
Solution de la question 3 :
En substituant dans l’expression de l’étape 1 :
\[
I = e^{\pi/2} – (1 + I) \implies 2I = e^{\pi/2} – 1
\implies \boxed{I = \frac{e^{\pi/2} – 1}{2}}
\]
Changement de variable
Exercice 9 : Changement de variable affine
Facile
Calculer les intégrales suivantes par un changement de variable simple.
- \(\displaystyle I = \int_{0}^{2} (2x+1)^4\, dx\), en posant \(t = 2x+1\).
- \(\displaystyle J = \int_{0}^{\pi/6} \sin(3x)\, dx\), en posant \(t = 3x\).
Indication
Exprimer \(dx\) en fonction de \(dt\) et penser à changer les bornes d’intégration : si \(t = \varphi(x)\), alors les bornes \(a\) et \(b\) en \(x\) deviennent \(\varphi(a)\) et \(\varphi(b)\) en \(t\).
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\(t = 2x+1 \Rightarrow dt = 2\,dx \Rightarrow dx = \dfrac{dt}{2}\). Bornes : \(x=0 \Rightarrow t=1\) ; \(x=2 \Rightarrow t=5\).
\[
I = \int_1^5 t^4 \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{2}\left[\frac{t^5}{5}\right]_1^5 = \frac{1}{2}\cdot\frac{5^5 – 1}{5} = \frac{3125 – 1}{10} = \frac{3124}{10} = 312{,}4
\]
Solution de la question 2 :
\(t = 3x \Rightarrow dt = 3\,dx \Rightarrow dx = \dfrac{dt}{3}\). Bornes : \(x=0 \Rightarrow t=0\) ; \(x=\pi/6 \Rightarrow t=\pi/2\).
\[
J = \int_0^{\pi/2} \sin(t)\cdot\frac{dt}{3} = \frac{1}{3}\left[-\cos t\right]_0^{\pi/2} = \frac{1}{3}(0 + 1) = \frac{1}{3}
\]
Exercice 10 : Changement de variable par substitution trigonométrique
Difficile
Calculer \(\displaystyle I = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 – x^2}}\, dx\) en posant \(x = \sin t\).
- Exprimer \(dx\) en fonction de \(dt\) et déterminer les nouvelles bornes d’intégration.
- Simplifier l’intégrande et calculer l’intégrale résultante.
Indication
Si \(x = \sin t\), alors \(\sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-\sin^2 t} = |\cos t| = \cos t\) pour \(t \in [0, \pi/2]\). L’intégrale se simplifie remarquablement. Le résultat fait intervenir \(\arcsin\).
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\(x = \sin t \Rightarrow dx = \cos t\, dt\). Bornes : \(x = 0 \Rightarrow t = 0\) ; \(x = 1 \Rightarrow t = \dfrac{\pi}{2}\).
Solution de la question 2 :
\[
I = \int_0^{\pi/2} \frac{\cos t\, dt}{\sqrt{1-\sin^2 t}}
= \int_0^{\pi/2} \frac{\cos t}{\cos t}\, dt
= \int_0^{\pi/2} 1\, dt = \frac{\pi}{2}
\]
On retrouve ainsi que \(\displaystyle\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin(1) – \arcsin(0) = \dfrac{\pi}{2}\), ce qui est cohérent avec la primitive \(\arcsin x\) de \(\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\).
Intégrales de fonctions rationnelles
Exercice 11 : Décomposition en éléments simples (cas simple)
Moyen
On souhaite calculer \(\displaystyle I = \int_{2}^{3} \frac{1}{x^2 – 1}\, dx\).
- Décomposer \(\dfrac{1}{x^2-1}\) en éléments simples de la forme \(\dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{x+1}\).
- En déduire la valeur de \(I\).
Indication
Factoriser \(x^2 – 1 = (x-1)(x+1)\). Pour trouver \(A\) et \(B\), multiplier les deux membres par \((x-1)\) et faire \(x = 1\) ; de même avec \((x+1)\) et \(x = -1\). La primitive de \(\dfrac{1}{x-a}\) est \(\ln|x-a|\).
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On cherche \(A\) et \(B\) tels que \(\dfrac{1}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{x+1}\).
En multipliant par \((x-1)\) et en posant \(x = 1\) : \(A = \dfrac{1}{2}\).
En multipliant par \((x+1)\) et en posant \(x = -1\) : \(B = -\dfrac{1}{2}\).
\[
\frac{1}{x^2-1} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x-1} – \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+1}
\]
Solution de la question 2 :
\[
I = \int_2^3 \left(\frac{1}{2(x-1)} – \frac{1}{2(x+1)}\right)dx
= \frac{1}{2}\left[\ln|x-1| – \ln|x+1|\right]_2^3
\]
\[
= \frac{1}{2}\left[\ln\frac{x-1}{x+1}\right]_2^3
= \frac{1}{2}\left(\ln\frac{2}{4} – \ln\frac{1}{3}\right)
= \frac{1}{2}\left(\ln\frac{1}{2} – \ln\frac{1}{3}\right)
= \frac{1}{2}\ln\frac{3}{2}
\]
Exercice 12 : Intégrale d’une fraction rationnelle par complétion du carré
Difficile
On considère l’intégrale \(\displaystyle I = \int_{0}^{1} \frac{2x + 3}{x^2 + 2x + 5}\, dx\).
- Mettre \(x^2 + 2x + 5\) sous la forme \((x+a)^2 + b\).
- Décomposer le numérateur \(2x+3\) de façon à faire apparaître la dérivée du dénominateur et un terme résiduel.
- Calculer \(I\) en utilisant les primitives de \(\dfrac{u’}{u}\) et de \(\dfrac{1}{u^2+k^2}\).
Indication
La dérivée de \(x^2+2x+5\) est \(2x+2\). Écrire \(2x+3 = (2x+2) + 1\) pour séparer la partie \(\dfrac{u’}{u}\) de la partie \(\dfrac{1}{(x+1)^2+4}\), dont la primitive fait intervenir \(\arctan\).
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\[
x^2 + 2x + 5 = (x+1)^2 + 4
\]
Solution de la question 2 :
\[
\frac{2x+3}{x^2+2x+5} = \frac{(2x+2) + 1}{x^2+2x+5} = \frac{2x+2}{x^2+2x+5} + \frac{1}{(x+1)^2+4}
\]
Solution de la question 3 :
Pour la première partie, on reconnaît la forme \(\dfrac{u’}{u}\) avec \(u = x^2+2x+5\) :
\[
\int_0^1 \frac{2x+2}{x^2+2x+5}\,dx = \left[\ln(x^2+2x+5)\right]_0^1 = \ln 8 – \ln 5 = \ln\frac{8}{5}
\]
Pour la seconde partie, on pose \(x+1 = 2u\) ou l’on reconnaît directement la primitive de \(\dfrac{1}{(x+1)^2+4}\) :
\[
\int_0^1 \frac{dx}{(x+1)^2+4} = \frac{1}{2}\left[\arctan\frac{x+1}{2}\right]_0^1 = \frac{1}{2}\left(\arctan 1 – \arctan\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{4} – \arctan\frac{1}{2}\right)
\]
\[
\boxed{I = \ln\frac{8}{5} + \frac{\pi}{8} – \frac{1}{2}\arctan\frac{1}{2}}
\]
Calcul d’aires et applications géométriques
Exercice 13 : Aire comprise entre une courbe et l’axe des abscisses
Facile
Soit \(f(x) = x^2 – 4\) définie sur \(\mathbb{R}\).
- Déterminer les racines de \(f\) et étudier le signe de \(f\) sur \([-2, 2]\).
- Calculer l’aire de la région du plan délimitée par la courbe de \(f\) et l’axe des abscisses sur \([-2, 2]\).
Indication
Sur un intervalle où \(f(x) \leq 0\), l’aire est \(\displaystyle -\int_a^b f(x)\,dx\). Ici, \(f\) est négative sur \([-2, 2]\), donc l’aire vaut \(\displaystyle -\int_{-2}^{2}(x^2-4)\,dx\).
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\(f(x) = 0 \iff x^2 = 4 \iff x = \pm 2\). Sur \(]-2,2[\), \(x^2 < 4\) donc \(f(x) < 0\).
Solution de la question 2 :
L’aire est \(\mathcal{A} = -\displaystyle\int_{-2}^{2}(x^2-4)\,dx\).
\[
\int_{-2}^{2}(x^2-4)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} – 4x\right]_{-2}^{2}
= \left(\frac{8}{3}-8\right) – \left(-\frac{8}{3}+8\right)
= \frac{16}{3} – 16 = -\frac{32}{3}
\]
\[
\mathcal{A} = -\left(-\frac{32}{3}\right) = \frac{32}{3} \text{ u.a.}
\]
Exercice 14 : Aire comprise entre deux courbes
Moyen
On considère les fonctions \(f(x) = x^2\) et \(g(x) = 2x\) définies sur \(\mathbb{R}\).
- Trouver les points d’intersection des courbes \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\).
- Déterminer sur quel intervalle \(g(x) \geq f(x)\).
- Calculer l’aire de la région délimitée par les deux courbes.
Indication
L’aire entre deux courbes est \(\displaystyle\int_a^b |f(x) – g(x)|\,dx\). Déterminer d’abord l’intervalle \([a,b]\) délimité par les abscisses des intersections, puis vérifier quel graphe est au-dessus de l’autre.
Voir le corrigé
\(f(x) = g(x) \iff x^2 = 2x \iff x^2 – 2x = 0 \iff x(x-2) = 0\). Les points d’intersection sont \((0, 0)\) et \((2, 4)\).
Solution de la question 2 :
Pour \(x \in [0,2]\), \(g(x) – f(x) = 2x – x^2 = x(2-x) \geq 0\). Donc \(g \geq f\) sur \([0,2]\).
Solution de la question 3 :
\[
\mathcal{A} = \int_0^2 (g(x) – f(x))\,dx = \int_0^2 (2x – x^2)\,dx
= \left[x^2 – \frac{x^3}{3}\right]_0^2
= \left(4 – \frac{8}{3}\right) – 0 = \frac{4}{3} \text{ u.a.}
\]
Suites d’intégrales et fonctions intégrales
Exercice 15 : Fonction intégrale et dérivation
Moyen
On définit, pour tout réel \(x\), la fonction \(F\) par :
\[
F(x) = \int_{0}^{x} t\,e^{-t}\, dt
\]
- Calculer \(F(0)\).
- Montrer que \(F'(x) = x\,e^{-x}\) et en déduire le sens de variation de \(F\) sur \([0, +\infty[\).
- Calculer \(F(x)\) explicitement à l’aide d’une intégration par parties, puis déterminer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} F(x)\).
Indication
Le théorème fondamental du calcul intégral affirme que si \(g\) est continue, alors \(\left(\displaystyle\int_a^x g(t)\,dt\right)’ = g(x)\). Pour la question 3, procéder par IPP avec \(u = t\) et \(v’ = e^{-t}\), et étudier le comportement à l’infini.
Voir le corrigé
\[
F(0) = \int_0^0 t\,e^{-t}\,dt = 0
\]
Solution de la question 2 :
Par le théorème fondamental de l’analyse, \(F'(x) = x\,e^{-x}\). Pour \(x \geq 0\), on a \(x \geq 0\) et \(e^{-x} > 0\), donc \(F'(x) \geq 0\) : \(F\) est croissante sur \([0, +\infty[\).
Solution de la question 3 :
IPP avec \(u = t\), \(v’ = e^{-t}\), d’où \(u’ = 1\), \(v = -e^{-t}\).
\[
F(x) = \left[-t\,e^{-t}\right]_0^x + \int_0^x e^{-t}\,dt
= -x\,e^{-x} + \left[-e^{-t}\right]_0^x
= -x\,e^{-x} – e^{-x} + 1
= 1 – (x+1)e^{-x}
\]
Comme \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(x+1)e^{-x} = 0\) (croissances comparées), on a \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} F(x) = 1\).
Exercice 16 : Suite d’intégrales avec relation de récurrence
Difficile
Pour tout entier \(n \in \mathbb{N}\), on définit :
\[
I_n = \int_{0}^{1} x^n\,e^x\, dx
\]
- Calculer \(I_0\).
- À l’aide d’une intégration par parties, établir la relation de récurrence \(I_n = e – n\,I_{n-1}\) pour tout \(n \geq 1\).
- Calculer \(I_1\) et \(I_2\).
- Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on a \(0 \leq I_n \leq \dfrac{e}{n+1}\), puis en déduire \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} I_n\).
Indication
Pour la relation de récurrence, poser \(u = x^n\) et \(v’ = e^x\) dans la formule d’IPP. Pour l’encadrement, utiliser que \(0 \leq x^n \leq x^n\) et que \(1 \leq e^x \leq e\) sur \([0,1]\), ce qui donne \(0 \leq I_n \leq e\displaystyle\int_0^1 x^n\,dx\).
Voir le corrigé
\[
I_0 = \int_0^1 e^x\,dx = \left[e^x\right]_0^1 = e – 1
\]
Solution de la question 2 :
IPP avec \(u = x^n\), \(v’ = e^x\) :
\[
I_n = \left[x^n\,e^x\right]_0^1 – \int_0^1 n\,x^{n-1}\,e^x\,dx = e – n\,I_{n-1}
\]
Solution de la question 3 :
\[
I_1 = e – 1\cdot I_0 = e – (e-1) = 1
\]
\[
I_2 = e – 2\cdot I_1 = e – 2
\]
Solution de la question 4 :
Pour \(x \in [0,1]\), \(x^n \geq 0\) et \(e^x \geq 1\), donc \(I_n \geq 0\). De plus, \(e^x \leq e\), donc :
\[
I_n \leq e\int_0^1 x^n\,dx = e\cdot\frac{1}{n+1} = \frac{e}{n+1}
\]
Ainsi \(0 \leq I_n \leq \dfrac{e}{n+1}\). Comme \(\dfrac{e}{n+1} \to 0\) quand \(n \to +\infty\), le théorème des gendarmes donne :
\[
\lim_{n\to+\infty} I_n = 0
\]